[Toán 9 - CHƯƠNG I] Bài 1. Phương Trình Quy Về Phương Trình Bậc Nhất 1 Ẩn » Trương Văn Đức

94 / 100

Được cung cấp bởi Rank Math SEO

MỤC LỤC

1 A. Tóm tăt lý thuyết
- 1.1 Kiến thức cần nhớ
  - 1.1.1 1. Phương trình tích
  - 1.1.2 2. Phương trình chứa ẩn ở mẫu
2 B. Bài tập trắc nghiệm
3 C. Các dạng tự luận
4 D. Đáp án bài tập trắc nghiệm

A. Tóm tăt lý thuyết

Kiến thức cần nhớ

1. Phương trình tích

Để giải phương trình tích (ax + b+)(cx + d) = 0, ta giải phương trình ax + b = 0 và cx+ d = 0. Sau đó lấy tất cả các nghiệm của chúng.

Nhận xét: Đối với phương trình được đưa về dạng tích, ta thực hiện việc giải phương trình theo hai bước:
Bước 1: Đưa phương trình về phương trình tích (ax +b)(cx + d) = 0
Bước 2: Giải phương trình tích tìm được.

2. Phương trình chứa ẩn ở mẫu

Đối với phương trình chứa ẩn ở mẫu, ta thường đặt điều kiện cho ẩn để tất cả các mẫu thức trong phương trình đều khác 0 và đó gọi là điều kiện xác định (viết tắt là ĐKXĐ) của phương trình.

Các bước giải phương trình chứa ẩn ở mẫu
Bước 1: Tìm điều kiện xác định của phương trình.
Bước 2: Quy đồng mẫu hai vế của phương trình rồi khử mẫu.
Bước 3: Giải phương trình vừa tìm được.
Bước 4: Kết luận. Trong các giá trị tìm được của ẩn ở bước 3, giá trị nào thỏa mãn ĐKXĐ chính là nghiệm của phương trình đã cho.

B. Bài tập trắc nghiệm

1. Mức độ nhận biết

Câu 1: Trong các phương trình sau, phương trình nào là phương trình tích
A. $(2x+1)(x-2) =1$
B. x(x−2)+(6x +5)(x +1) = 0
C. x−5 = −2x+3
D. (x + 4)(5−2x) = 0

Câu 2: Phương trình 5(x + 2)(2x −1) = 0 có mấy nghiệm
A. 1 B. 2 C. 3 D. Vô nghiệm

Câu 3:Tất cả các nghiệm của phương trình (x −3)(2x + 4) = 0 là:
A. x = 3 B. x = −2
C. x = 3 và x = −2 D. x = 4

Câu 4: Có mấy bước để giải phương trình chứa ẩn ở mẫu
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

Câu 5: Điều kiện xác định của phương trình ${\large \frac{4x-1}{x+2}+1=\frac{3}{x-3}}$ là:
A. x ≠ −2 B. x ≠ 3
C. x ≠ −2 và x ≠ 3 D. x = −2 và x = 3

2. Mức độ thông hiểu

Câu 6: Tập nghiệm của phương trình (3x+1)(2-3x) = 0 là:
A. $S=\left\{\frac{-1}{3}\right.;\left.\frac{2}{3}\ \right\}$ B. $S=\left\{ \frac{-1}{2}\right\}$
C. $S=\left\{ \frac{-1}{3};\frac{-2}{3}\right\}$ D. $S=\left\{ \frac{1}{2};\frac{3}{2}\right\}$

Câu 7: Phương trình $\frac{2}{x-2}-\frac{3}{x-3}=\frac{3x-20}{(x-3)(x-2)}$ có nghiệm là:
A. x = 5 B. x = 6 C. x = 8 D. x =10

Câu 8: x =−2 là nghiệm của phương trình nào sau đây:
A. $x^2+7x=0$
B. ${(3x+2)}^2+4x^2=0$
C. $2x(x+6)+5(x\ +6)\ =\ 0$
D. $x(3x+5)-6x-10\ =\ 0$

Câu 9: Điều kiện xác định của phương trình $\frac{1}{x-1}-\frac{4x}{x^3-1}=\frac{x}{x^2+x+1}$

A. $x\ne0$
B. $x\ne0$ và $x\ne1$
C. $x\ne1$
D. $x\ne1$ và $x\ne2$

Câu 10: Tập nghiệm của phương trình ${x(3x+5)-6x-10=0}$ là:
A. $S=\left\{\frac{-5}{3}\right.;\left.2\ \right\}$
B. $S=\left\{\frac{5}{3}\right.;\left.2\ \right\}$
C. $S=\left\{\frac{5}{3}\right.;\left.-2\ \right\}$
D. $S=\left\{\frac{-5}{3}\right.;\left.-2\ \right\}$

3. Mức độ vận dụng

Câu 11: Trong một khu đất có dạng hình vuông, người ta dành một mảnh đất, có dạng hình chữ nhật ở góc khu đất để làm bể bơi (hình vẽ). Biết diện tích bể bơi bằng 1250m2.. Tính độ dài cạnh khu đất đó.

A. 72 B. 73 C. 74 D. 75

hinh 1
Câu 12: Cho hai biểu thức $A=\frac{3}{3x+1}+\frac{2}{1-3x};\ B=\frac{x-5}{9x^2-1}$ . Với giá trị nào của x thì hai biểu thức A và B có cùng một giá trị?
A. 0 B. 1 C. 5 D. 7

Câu 13: Cho phương trình $\frac{1}{x+1}-\frac{2x^2-m}{x^3+1}= \frac{4}{x^2-x+1}$ . Biết x = 0 là một nghiệm của phương trình. Tìm các nghiệm còn lại.
A. -5 B. 5 C. 2 D. -1

Câu 14: Nghiệm của phương trình $\frac{x+2}{x-2}-\frac{x-2}{x+2}= \frac{16}{x^2-4}$ là:
A. -2 B. 2 C. vô nghiệm D. x=-2 và x=2

Câu 15: Độ cao h (mét) của một quả bóng gôn sau khi được đánh t (giây) được cho bởi công thức h=t(20-5t). Có thể tính được thời gian bay của quả bóng từ khi được đánh đến khi chạm đất không?
A. 10 giây B. 12 giây C. 20 giây D. 25 giây

4. Mức độ vận dụng cao

Câu 16: Trong một khu vườn hình vuông có cạnh bằng 15m người ta làm một lối đi xunh quanh có bề rộng là x(m). Để diện tích phần đất còn lại là 169m2 thì bề rộng x của lối đi là bao nhiêu?
A. 0,5m B. 1m C.1,5m D. 2m

Câu 17: Một doanh nghiệp sử dụng than để sản xuất. Doanh nghiệp đó lập kế hoạch tài chính cho viẹc loại bỏ chất ô nhiễm trong khí thải theo dự kiến sau: Để loại bỏ p% chất ô nhiễm trong khí thải thì chi phí C (triệu đồng) được tính theo công thức $c=\frac{80}{100-p}$ , với 0≤ p <100 . Với chi phí là 420 triệu đồng thì doanh nghiệp loại bỏ được bao nhiêu phầm trăm chất gây ô nhiễm trong khí thải (làm tròn kết quả đến hàng phần mười).
A. 90% B. 99% C. 99,8% D. 98,9%.

Câu 18: Bác An có một mảnh đất hình chữ nhật với chiều dài 14m và chiều rộng 12m. Bác dự định xây nhà trên mảnh đất đó và dành một phần diện tích để làm sân vườn như hình vẽ. Biết diẹn tích đất làm nhà là 100m2. . Hỏi x bằng bao nhiêu mét?

A. 1,5m B. 1,75m C. 2m D. 2,2m

Hinh 2
Câu 19: Phương trình $x^3+8=x^2-4$ có bao nhiêu nghiệm?
A. 1 nghiệm B. 2 nghiệm C. 3 nghiệm D. Vô nghiệm.

Câu 20: Biết nồng độ muối của nước biển là 3,5% và khối lượng riêng của nước biển là 1020g/ml. Từ 2 lít nước biển như thế, người ta hòa tan thêm muối để được dung dịch có nồng độ muối là 20%. Tính khối lượng muối cần thêm.
A. 420,7 (g) B. 420,75 (g) C. 420 (g) D. 420,5 (g)

C. Các dạng tự luận

Dạng 1: Giải phương trình tích

Phương pháp giải

Muốn giải phương trình (ax₁+ b₁)(ax₂+ b₂) = 0, ta giải hai phương trình ax₁+ b₁= 0 và ax₂+ b₂= 0, rồi lấy tất cả các nghiệm của chúng.

Đối với phương trình đưa được về dạng tích, ta thực hiện việc giải phương trình theo hai bước:

Bước 1: Đưa phương trình về phương trình tích (ax₁+ b₁)(ax₂+ b₂) = 0.
Bước 2: Giải phương trình tích tìm được.

Bài 1. Giải các phương trình sau:

a) (2x+1)(3x-1)=0

b) (3x +1)(2−3x) = 0

c) (x +5)(3x −9) = 0

d) 3x(x + 7) = 0.

Bài 2. Giải các phương trình sau:

a) (x ₋7)(5x +4) = 0

b) $(2x+9)(\frac{2}{3}x-5)=0$

c) $(4x-5)(\frac{6x-1}{3}+1)=0$

d) $(\frac{2+x}{4}-\frac{x}{5})(\frac{3x+5}{6}-\frac{13x-1}{9})=0$

Bài 3. Giải các phương trình sau bằng cách đưa về phương trình tích:

a) x²+ 7x = 0

b) (3x + 2)²− 4x²= 0

c) 2x(x + 6) + 5(x + 6) = 0

d) x(3x + 5) − 6x − 10 = 0 .

Bài 4. Giải các phương trình sau bằng cách đưa về phương trình tích:

a) (2x − 3)²=(x + 7)²

b) x²– 9 = 3(x + 3)

c) x²− x = −2x + 2

d) x²−3x = 2x−.6

Bài 5. Giải các phương trình sau bằng cách đưa về phương trình tích:

a) 3x²−11x+6 = 0

b) −2x²+5x+3= 0

c) x³+2x−3= 0

d) x³+8 = x²−4.

Dạng 2. Giải phương trình chứa ẩn ở mẫu quy về phương trình bậc nhất

Phương pháp giải

Bước 1: Tìm điều kiện xác định của phương trình.

Bước 2: Quy đồng mẫu thức hai vế của phương trình, rồi khử mẫu.

Bước 3: Giải phương trình vừa nhận được.

Bước 4: Xét mỗi giá trị tìm được ở Bước 3, giá trị nào thoả mãn điều kiện xác định thì đó là nghiệm của phương trình đã cho.

Bài 6. Giải các phương trình sau

a) $\frac{x+6}{x+5}+\frac{3}{2}=2$

b) $\frac{2}{x-2}-\frac{3}{x-3}=\frac{3x-20}{\left(x-3\right)\cdot \left(x-2\right)}$

c) $\frac{x^2}{2-x}+\frac{3x-1}{3}=\frac{5}{3}$

d) $\frac{4}{x\cdot \left(x-1\right)}+\frac{3}{x}=\frac{4}{x-1}$

Bài 7. Giải các phương trình sau

a) $\frac{2}{x+1}+\frac{1}{x-2}=\frac{3}{\left(x+1\right)\cdot \left(x-2\right)}$

b) $\frac{x+3}{x-3}+\frac{x-2}{x}=2$

c) $\frac{1}{x-1}-\frac{4x}{x^{3}-1}=\frac{x}{x^{2}+x+1}$

d) $\frac{3}{x-2}+\frac{2}{x+1}=\frac{2x+5}{\left(x-2\right)\cdot \left(x+1\right)}$

Bài 8. Giải các phương trình sau

a) $\frac{2x+5}{x+3}+1=\frac{4}{x^{2}+2x-3}-\frac{3x-1}{1-x}$

b) $\frac{x-1}{x+3}-\frac{x}{x-3}=\frac{7x-3}{9-x^{2}}$

c) $5+\frac{96}{x^{2}-16}=\frac{2x-1}{x+4}+\frac{3x-1}{x-4}$

d) $\frac{2x+19}{5x^{2}-5}-\frac{17}{x^{2}-1}=\frac{3}{1-x}$

Bài 9. Cho phương trình $\frac{x-2}{x-4}+\frac{x-3}{x-2}=\frac{t}{3}$ trong đó t là một số cho trước. Biết x =5 là một trong các nghiệm của phương trình, tìm các nghiệm còn lại.

Bài 10. Cho phương trình $\frac{2x+m}{x-1}=\frac{5\left(x-1\right)}{x+1}$ . Chứng minh rằng nếu $x=\frac{1}{3}$ là một nghiệm của phương trình thì phương trình còn có một nghiệm nguyên.

Dạng 3. Giải quyết một số bài toán thực tế liên quan

Phương pháp giải

Giải bài toán thực tế bằng cách lập phương trình như sau:

Bước 1: Lập phương trình

Chọn ẩn số và đặt điều kiện thích hợp cho ẩn số.

Biểu diễn các đại lượng chưa biết khác theo ẩn và các đại lượng đã biết.

Lập phương trình biểu thị mối quan hệ giữa các đại lượng.

Bước 2: Giải phương trình

Bước 3: Trả lời

Kiểm tra xem trong các nghiệm của phương trình, nghiệm nào thỏa mãn điều kiện của ẩn, nghiệm nào không rồi kết luận.

Bài 11. Một người đi xe máy từ A đến B với vận tốc 45 km/h. Lúc về người đó đi với vận tốc 40 km/h nên thời gian về nhiều hơn thời gian đi là 10 phút. Tính quãng đường AB .

Bài 12. Một xe khách khởi hành từ A đến B với vận tốc 50 km/h. Sau đó 30 phút, một xe con xuất phát từ B để đi đến A với vận tốc 60 km/h. Biết quãng đường AB dài 80 km. Hỏi sau bao lâu kể từ khi xe khách khởi hành, hai xe gặp nhau?

Bài 13. Một công nhân dự kiến làm 60 sản phẩm trong một ngày. Do cải tiến kỹ thuật, anh đã làm được 80 sản phẩm một ngày. Vì vậy, anh đã hoàn thành kế hoạch sớm 2 ngày và còn làm thêm được 40 sản phẩm nữa. Tính số sản phẩm anh công nhân phải làm theo kế hoạch.

Bài 14. Một khu vườn hình chữ nhật có chu vi là 48 m. Nếu tăng chiều rộng lên 4 lần và chiều dài lên 3 lần thì chu vi của khu vườn sẽ là 162 m. Hãy tìm diện tích của khu vườn ban đầu.

Bài 15. Một công nhân dự kiến làm 33 sản phẩm trong một thời gian nhất định. Trước khi thực hiện, xí nghiệp giao thêm cho người đó 29 sản phẩm nữa. Do đó mặc dù mỗi giờ người đó đã làm thêm 3 sản phẩm nhưng vẫn hoàn thành chậm hơn dự kiến 1 giờ 30 phút. Tính năng suất dự kiến.

D. Đáp án bài tập trắc nghiệm

BẢNG ĐÁP ÁN BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM

1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
D	B	C	D	C	A	A	B	C	A
11	12	13	14	15	16	17	18	19	20
D	A	A	B	C	B	C	C	A	B

Hướng dẫn

1. Mức độ nhận biết

Câu 1: Trong các phương trình sau, phương trình nào là phương trình tích
A. (2x +1)(x −2) =1 B. x(x−2)+(6x +5)(x +1) = 0
C. x−5 = −2x+3 D. (x + 4)(5−2x) = 0

Câu 2: Phương trình 5(x + 2)(2x −1) = 0 có mấy nghiệm
A. 1 B. 2 C. 3 D. Vô nghiệm

Câu 3:Tất cả các nghiệm của phương trình (x −3)(2x + 4) = 0 là:
A. x = 3 B. x = −2
C. x = 3 và x = −2 D. x = 4

Câu 4: Có mấy bước để giải phương trình chứa ẩn ở mẫu
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

Câu 5: Điều kiện xác định của phương trình ${\large \frac{4x-1}{x+2}+1=\frac{3}{x-3}}$ là:
A. x ≠ −2 B. x ≠ 3
C. x ≠ −2 và x ≠ 3 D. x = −2 và x = 3

2. Mức độ thông hiểu

Hướng dẫn:
Ta có (3x+1)(2-3x) = 0 nên 3x+1=0 hoặc 2-3x=0

3x+1=0 hay 3x=-1 suy ra $x= \frac{-1}{3}$

2-3x=0 hay 3x=2 suy ra $x= \frac{2}{3}$

Vậy phương trình đã cho có tập nghiệm $S=\left\{\frac{-1}{3}\right.;\left.\frac{2}{3}\ \right\}$

Câu 7: Phương trình $\frac{2}{x-2}-\frac{3}{x-3}=\frac{3x-20}{(x-3)(x-2)}$ có nghiệm là:
A. x = 5 B. x = 6 C. x = 8 D. x =10

Hướng dẫn:
ĐKXD: $x\neq 2 \text{ và } x\neq3$
Ta có: $\frac{2}{x-2}-\frac{3}{x-3}=\frac{3x-20}{(x-3)(x-2)}$
2(x – 3)-3(x – 2) = 3x – 20
2x – 6-3x + 6 = 3x – 20
-4x = -20
x = 5 (thỏa mãn điều kiện)
Vậy phương trình đã cho có nghiệm x = 5

Câu 8: x =−2 là nghiệm của phương trình nào sau đây:
A. $x^2+7x=0$
B. ${(3x+2)}^2+4x^2=0$
C. $2x(x+6)+5(x\ +6)\ =\ 0$
D. $x(3x+5)-6x-10\ =\ 0$

Hướng dẫn:
C1: Ta thử x =−2 vào từng phương trình, nếu hai vế của phương trình cùng bằng 0 thì nó là nghiêm.
C2: Giải từng phương trình ra thấy x =−2 là nghiệm của phương trình ${(3x+2)}^2+4x^2=0$

Câu 9: Điều kiện xác định của phương trình $\frac{1}{x-1}-\frac{4x}{x^3-1}=\frac{x}{x^2+x+1}$
A. $x\ne0$ B. $x\ne0$ và $x\ne1$
C. $x\ne1$ D. $x\ne1$ và $x\ne2$

Hướng dẫn:
$\begin{cases}x - 1 \neq 0\\x^3 - 1 \neq 0 \\x^2 + x + 1 \neq 0 \end{cases}\Leftrightarrow \begin{cases}x - 1 \neq 0 \\(x - 1)(x^2+ x + 1) \neq 0 \\x^2 + x + 1 \neq 0 \end{cases}\Leftrightarrow x \neq 1$
$\text{ Do }x^2 + x + 1 > 0 \text{ }{\forall x\in R}$

Câu 10: Tập nghiệm của phương trình ${x(3x+5)-6x-10=0}$ là:
A. $S=\left\{\frac{-5}{3}\right.;\left.2\ \right\}$ B. $S=\left\{\frac{5}{3}\right.;\left.2\ \right\}$ C. $S=\left\{\frac{5}{3}\right.;\left.-2\ \right\}$ D. $S=\left\{\frac{-5}{3}\right.;\left.-2\ \right\}$

Hướng dẫn:
$x(3x + 5) - 6x - 10 = 0$
$x(3x + 5) - 2(3x + 5) = 0$
$(3x + 5)(x - 2) = 0$
$(x - 2) = 0$ hoặc $(3x + 5)= 0$
$x = 2$ hoặc $x = \frac{-5}{3}$
Vậy phương trình có tập nghiệm $S=\left\{ 2;\frac{-5}{3} \right\}$

A. 72 B. 73 C. 74 D. 75

hinh 1

Hướng dẫn
Gọi độ dài cạnh khu đất có dạng hình vuông là x (m).
Khi đó, mảnh đất có dạng hình chữ nhật để làm bể bơi có các kích thước là x − 50(m), ( x > 50 ) và
x − 25(m).
Do đó, diện tích của mảnh đất là $(x - 50)(x - 25)$ (m2)
Giải phương trình $(x - 50)(x - 25) =1250$
$x^2 - 25x -50x + 1250 = 1250$
$x^2 - 75x = 0$
$x(x - 75) = 0$
$x = 75$ (Do x > 0 nên x = 0 loại)

Câu 12: Cho hai biểu thức $A=\frac{3}{3x+1}+\frac{2}{1-3x};\ B=\frac{x-5}{9x^2-1}$ . Với giá trị nào của x thì hai biểu thức A và B có cùng một giá trị?
A. 0 B. 1 C. 5 D. 7

Hướng dẫn:
$A=B\Rightarrow \frac{3}{3x+1}+\frac{2}{1-3x}=\frac{x-5}{9x^{2}-1}$ (1)
ĐKXĐ: $x \neq \pm \frac{1}{3}$
$(1)\Rightarrow \frac{3}{3x+1}-\frac{2}{3x-1}=\frac{x-5}{(3x+1)(3x-1)}$
$3\left(3x-1\right)-2\left(3x+1\right)=x-5$
$2x = 0$
$x=0$
Vậy khi $x=0$ thì $A=B$

Câu 13: Cho phương trình $\frac{1}{x+1}-\frac{2x^2-m}{x^3+1}= \frac{4}{x^2-x+1}$ . Biết x = 0 là một nghiệm của phương trình. Tìm các nghiệm còn lại.
A. -5 B. 5 C. 2 D. -1.

Hướng dẫn:
+ Thay $x=0$ vào phương trình ta được: $\frac{1}{1}-\frac{0-m}{0+1}=\frac{4}{0-0+1}\Rightarrow 1+m=4\Rightarrow m=3$
+ Thay $m=3$ vào phương trình ta được: $\(\frac{1}{x+1}-\frac{2x^2-3}{x^2+1}=\frac{4}{x^2-x+1})$ ĐKXĐ $x \neq -1$
$x^{2}-x+1-x^{2}+=4(x+1)$
$-x^{2}-5x=0$
$\left[\begin{matrix}x=0\\x=-5\end{matrix}\right.$
$x=0$ và $x=-5$ đều thỏa mãn điều kiện. Vậy $x=-5$ là nghiệm còn lại của phương trình

Câu 14: Nghiệm của phương trình $\frac{x+2}{x-2}-\frac{x-2}{x+2}= \frac{16}{x^2-4}$ là:
A. -2 B. 2 C. vô nghiệm D. x=-2 và x=2

Hướng dẫn
Điêù kiện xác định $\begin{cases}x - 2 \neq 0\\x + 2 \neq 0\\\end{cases} \Rightarrow \begin{cases}x \neq 2\\x \neq -2\\\end{cases}$
Ta có:
$\frac{x + 2}{x - 2} - \frac{x - 2}{x + 2} = \frac{16}{x^2 - 4}$
$\frac{(x + 2)(x + 2)-(x - 2)(x - 2)}{(x - 2)(x + 2)} = \frac{16}{(x + 2)(x - 2)}$
$(x + 2)^2-(x - 2)^2 = 16$
$(x + 2 - x + 2)(x + 2 + x - 2) = 16$
$8x=16$
$x = 2$ (thỏa điều kiện)
Vậy nghiệm của phương trình là $x = 2$

Hướng dẫn
Quả bóng chạm đất khi $h(t) = 0$ , do đó ta giải phương trình: $t(20 - t) = 0$
Suy ra $t = 0$ hoặc $20 - t = 0$
Suy ra $t = 0$ hoặc $t = 20$
Vậy thời gian của quả bóng từ khi được đánh đến khi chạm đất là $20 - 0 = 20$ giây.

4. Mức độ vận dụng cao

Hướng dẫn
Phần đất còn lại vẫn là hình vuông có cạnh $15 - 2x (m)$ nên diện tích phần đất còn lại là $(15 - 2x)^2$
Do cạnh của hình vuông là một số dương nên $15 - 2x > 0 \Rightarrow x < \frac{15}{2}$
Theo bài ra ta có phương trình $(15 - 2x)^2 = 169$ . Khi đó:
$(15 - 2x)^2 - 13^2 = 0$
$(15 - 2x -13)(15 - 2x + 13) = 0$
$(2 - 2x)(28 - 2x) = 0$
$\left[\begin{matrix}2-2x=0 \Rightarrow x = 1 \text{ thoỏa mãn}\\28 - 2x =0 \Rightarrow x = 14 \text{ loai}\end{matrix}\right.$
Vậy lối đi rộng 1 (m)

Hướng dẫn
Theo đề bài ta có phương trình:
$420 = \frac{80}{100 - p}$
$\frac{420(100 - p)}{100 - p}=\frac{80}{100 - p}$
$420(100 - p) = 80$
$42000 - 420p = 80$
$420p = 41920$
$p \approx 99,8$ (thỏa mãn $0 \leq p < 100$ )
Vậy với 420 triệu đồng thì doanh nghiệp loại bỏ được 99,8% chất gây ô nhiễm môi trường.

A. 1,5m B. 1,75m C. 2m D. 2,2m

Hinh 2

Hướng dẫn:

Diện tích làm nhà là $(12 - x)[14 - (x + 2)] = (12 - x)(12 - x)(m ^ 2)$ với điều kiện $0 < x< 12$
Vì diện tích đất làm nhà là $100m^2$ nên ta có phương trình
$(12 - x)(12 - x) = 100$
$(12 - x^2) - 10^2 = 0$
$(12 - x - 10)(12 - x + 10) = 0$
$(2 - x)(22 - x) = 0$
$\left[\begin{matrix}2 - x=0 \Rightarrow x = 2\\22 - x = 0 \Rightarrow x = 22 (loai)\end{matrix}\right.$
Vậy $x = 2(m)$

Câu 19: Phương trình $x^3+8=x^2-4$ có bao nhiêu nghiệm?
A. 1 nghiệm B. 2 nghiệm C. 3 nghiệm D. Vô nghiệm.

Hướng dẫn
$x^{3}+8=x^{2}-4$
$(x + 2)(x ^ 2 - 2x + 4) - (x + 2)(x - 2) = 0$
$\left(x+2\right)\cdot \left(x^{2}-2x+4-x+2\right)=0$
$(x + 2)(x ^ 2 - 3x + 6) = 0$
Vì $x ^ 2 - 3x + 6 = (x - \frac{3}{2})^2 + \frac{15}{4} > 0$ nên $x + 2 = 0 \Rightarrow x = -2$
Vậy phương trình có tập nghiệm S = {2}.

Hướng dẫn
Khối lượng của 2 lít nước biển là 1020.2 = 2040 (g)
Khối lượng muối trong 2 lít nước biển là 2040.3,5% = 71,4 (g)
Gọi khối lượng muối cần hòa thêm 2 lít nước biển như thế để được dung dịch có nồng độ muối là 20% là x(g) x > 0 .
Ta có phương trình: $\frac{71,4 + x}{2040 + x} = \frac{20}{100}$
Giải phương trình: $\frac{100(71,4 + x)}{100(2040 + x)} = \frac{20(2040 + x)}{100(2040 + x)}$
$100(71,4 + x) = 20(2040 + x)$
$7140 + 100x = 40800 + 20x)$
$80x = 33660$
$x = 420,75$ (thỏa mãn x > 0)
Vậy cần thêm 420,75 (g) muối vào 2 lít nước biển ban đầu để được dung dịch có nồng độ muối là 20%

E. HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT BÀI TẬP TỰ LUẬN

Dạng 1. Giải phương trình tích

Bài 1. Giải các phương trình sau:

$a) (2x + 1)(3x - 1)=0$
$b) (3x + 1)(2 − 3x) = 0$
$c) (x + 5)(3x − 9) = 0$
$d) 3x(x + 7) = 0$

Lời giải:

a) Ta có $(2x + 1)(3x - 1) = 0$

$2x + 1 = 0$ hoặc $3x - 1 = 0$

$2x = -1$ hoặc $3x = 1$

$x = \frac{-1}{2}$ hoặc $x = \frac{1}{3}$

Vậy phương trình đã cho có tập nghiệm

$S=\left\{\frac{-1}{2}\right.;\left.\frac{1}{3}\ \right\}$

c) Ta có $(x + 5)(3x - 9) = 0$

$x + 5 = 0$ hoặc $3x - 9 = 0$

$x = -5$ hoặc $3x = 9$

$x = -5$ hoặc $x = 3$

Vậy phương trình đã cho có tập nghiệm

$S=\left\{-5\right.;\left.3\ \right\}$

b) Ta có $(3x + 1)(2x - 3) = 0$

$3x + 1 = 0$ hoặc $2x - 3 = 0$

$3x = -1$ hoặc $2x = 3$

$x = \frac{-1}{3}$ hoặc $x = \frac{3}{2}$

Vậy phương trình đã cho có tập nghiệm

$S=\left\{\frac{-1}{3}\right.;\left.\frac{3}{2}\ \right\}$

d) Ta có $3x(x + 7) = 0$

$3x = 0$ hoặc $x + 7 = 0$

$x = 0$ hoặc $x = -7$

Vậy phương trình đã cho có tập nghiệm

$S=\left\{0\right.;\left.-7\ \right\}$

Bài 2. Giải các phương trình sau:
a) $(x - 7)(5x + 4) = 0$
b) $(2x+9)(\frac{2}{3}x-5)=0$
c) $(4x-5)(\frac{6x-1}{3}+1)=0$
d) $(\frac{2+x}{4}-\frac{x}{5})(\frac{3x+5}{6}-\frac{13x-1}{9})=0$

Lời giải:

a) Ta có $(x - 7)(5x + 4) = 0$

$x - 7 = 0$ hoặc $5x + 4 = 0$

$x = 7$ hoặc $5x = -4$

$x = 7$ hoặc $x = \frac{-4}{5}$

Vậy phương trình đã cho có tập nghiệm

$S=\left\{7\right.;\left.\frac{-4}{5}\ \right\}$

c) Ta có $(4x - 5)(\frac{6x - 1}{3}+1) = 0$

$4x - 5 = 0$ hoặc $\frac{6x - 1}{3}+1 = 0$

$4x = 5$ hoặc $\frac{6x - 1}{3} = -1$

$x = \frac{5}{4}$ hoặc $6x -1 = -3$

$x = \frac{5}{4}$ hoặc $x = \frac{1}{3}$

Vậy phương trình đã cho có tập nghiệm

$S=\left\{\frac{5}{4}\right.;\left.\frac{1}{3}\ \right\}$

b) Ta có $(2x + 9)(\frac{2}{3x} - 5) = 0$

$2x + 9 = 0$ hoặc $\frac{2}{3x} - 5 = 0$

$2x = -9$ hoặc $\frac{2}{3x} = 5$

$x = \frac{-9}{2}$ hoặc $x = \frac{15}{2}$

Vậy phương trình đã cho có tập nghiệm

$S=\left\{\frac{-9}{2}\right.;\left.\frac{15}{2}\ \right\}$

d) Ta có $(\frac{2 + x}{4} - \frac{x}{5})(\frac{3x + 5}{6} - \frac{13x - 1}{9}) = 0$

$\frac{2 + x}{4} - \frac{x}{5} = 0$ hoặc $\frac{3x + 5}{6} - \frac{13x - 1}{9} = 0$

$5(x+2) -4x = 0$ hoặc $9(3x +5) -6(13x - 1)= 0$

$x + 10 = 0$ hoặc $-51x +51 = 0$

$x = -10$ hoặc $x = 1$

Vậy phương trình đã cho có tập nghiệm

$S=\left\{-10\right.;\left.1\ \right\}$

Bài 3. Giải các phương trình sau:
a) $x^2 + 7x = 0$
b) $(3x + 2)^2 - 4x^2 = 0$
c) $2x(x + 6) + 5(x + 6) = 0$
d) $x(3x + 5) - 6x -10 = 0$

Lời giải:

a) Ta có $x^2 + 7x = 0$

$x(x + 7) = 0$

$x = 0$ hoặc $x = -7$

Vậy phương trình đã cho có tập nghiệm

$S=\left\{0\right.;\left.-7\ \right\}$

c) Ta có $2x(x + 6) + 5(x + 6) = 0$

$(x + 6)(2x + 5) = 0$

$x + 6 = 0$ hoặc $2x + 5 = 0$

$x = -6$ hoặc $\frac{-5}{2}$

Vậy phương trình đã cho có tập nghiệm

$S=\left\{-6\right.;\left.\frac{-5}{2}\ \right\}$

b) Ta có $(3x + 2)^2 - 4x^2 = 0$

$(3x + 2 + 2x)(3x + 2 - 2x = 0$

$(5x + 2)(x + 2 = 0$

$5x + 2 = 0$ hoặc $x + 2 = 0$

$x = \frac{-2}{5}$ hoặc $x = -2}$

Vậy phương trình đã cho có tập nghiệm

$S=\left\{\frac{-2}{5}\right.;\left.-2\ \right\}$

d) Ta có $x(3x + 5) - 6x -10 = 0$

$x(3x + 5) - 2(3x + 5) = 0$

$(3x + 5)(x - 2) = 0$

$3x + 5 = 0$ hoặc $x - 2 = 0$

$x = \frac{-5}{3}$ hoặc $x = 2$

Vậy phương trình đã cho có tập nghiệm

$S=\left\{\frac{-5}{3}\right.;\left.2\ \right\}$

Bài 4. Giải các phương trình sau bằng cách đưa về phương trình tích:
a) $(2x - 3)^2 = (x + 7)^2$
b) $x^2 - 9 = 3(x + 3)$
c) $x^2 - x = -2x + 2$
d) $x^2 - 3x = 2x - 6$

Lời giải:

a) Ta có $(2x - 3)^2 = (x + 7)^2$

$(2x - 3)^2 - (x + 7)^2 = 0$

$(2x - 3 - x - 7)(2x - 3 + x + 7)$

$(x - 10)(3x + 4) = 0$

$x = 10$ hoặc $x = \frac{-4}{3}$

Vậy phương trình đã cho có tập nghiệm

$S=\left\{10\right.;\left.\frac{-4}{3}\ \right\}$

c) Ta có $x^2 - x = -2x + 2$

$x^2 - x + 2x - 2 = 0$

$x(x - 1) + 2(x -1) = 0$

$(x - 1)(x + 2) = 0$

$x = -1$ hoặc $x = -2$

Vậy phương trình đã cho có tập nghiệm

$S=\left\{1\right.;\left.-2\ \right\}$

b) Ta có $x^2 - 9 = 3(x + 3)$

$(x - 3)(x + 3) -3(x+3) = 0$

$(x + 3)(x - 3 -3)= 0$

$(x + 3)(x - 6)= 0$

$x = -3$ hoặc $x = 6}$

Vậy phương trình đã cho có tập nghiệm

$S=\left\{-3\right.;\left.6\ \right\}$

d) Ta có $x^2 - 3x = 2x - 6$

$x^2 - 3x - 2x + 6 = 0$

$x(x - 3) -2(x - 3) = 0$

$(x - 3)(x - 2) = 0$

$x = 3$ hoặc $x = 2}$

Vậy phương trình đã cho có tập nghiệm

$S=\left\{3\right.;\left.2\ \right\}$

Bài 5. Giải các phương trình sau bằng cách đưa về phương trình tích:
a) $3x^2 -11x + 6 = 0$
b) $-2x^2 + 5x + 3 = 0$
c) $x^3 + 2x - 3 = 0$
d) $x^3 + 8 = x^2 - 4$

Lời giải:

a) Ta có $3x^2 -11x + 6 = 0$

$3x^2 - 9x -2x +6 = 0$

$3x(x - 3) - 2(x - 3) = 0$

$(x - 3)(3x - 2) = 0$

$x = 3$ hoặc $x = \frac{-2}{3}$

Vậy phương trình đã cho có tập nghiệm

$S=\left\{10\right.;\left.\frac{-4}{3}\ \right\}$

c) Ta có $x^3 + 2x - 3 = 0$

$x^3 - x + 3x - 3 = 0$

$x(x^2 - 1) + 3(x -1) = 0$

$x(x - 1)(x + 1) + 3(x - 1) = 0$

$(x - 1)[x(x + 1) + 3] = 0$

$(x - 1)(x^2 + x + 3) = 0$

Vì $x^2 + x + 3) = (x + \frac{1}{2})^2 +\frac{11}{4} > 0$ nên $x - 1 = 0 \Rightarrow x = 1$

Vậy phương trình đã cho có tập nghiệm

$S=\{1\}$

b) Ta có $-2x^2 + 5x + 3 = 0$

$-2x^2 +6x - x + 3 = 0$

$-2x(x - 3) - (x - 3)= 0$

$(x - 3)(-2x - 1)= 0$

$(x - 3) = 0$ hoặc $-2x - 1= 0$

$x = 3$ hoặc $x = \frac{-1}{2}$

Vậy phương trình đã cho có tập nghiệm

$S=\left\{3\right.;\left.\frac{-1}{2}\ \right\}$

d) Ta có $x^3 + 8 = x^2 - 4$

$x^2 - 3x - 2x + 6 = 0$

$x(x - 3) -2(x - 3) = 0$

$(x - 3)(x - 2) = 0$

$x = 3$ hoặc $x = 2}$

Vậy phương trình đã cho có tập nghiệm

$S=\left\{3\right.;\left.2\ \right\}$

Dạng 2. Giải phương trình chứa ẩn ở mẫu quy về phương trình bậc nhất

Phương pháp giải

Bước 1: Tìm điều kiện xác định của phương trình.

Bước 2: Quy đồng mẫu thức hai vế của phương trình, rồi khử mẫu.

Bước 3: Giải phương trình vừa nhận được.

Bước 4: Xét mỗi giá trị tìm được ở Bước 3, giá trị nào thoả mãn điều kiện xác định thì đó là nghiệm của phương trình đã cho.

Bài 6. Giải các phương trình sau

a) $\frac{x + 6}{x + 5}+\frac{3}{2}=2$

b) $\frac{2}{x - 2}-\frac{3}{x - 3}=\frac{3x - 20}{\left(x - 3\right)\cdot \left(x - 2\right)}$

c) $\frac{x^2}{2 - x}+\frac{3x - 1}{3}=\frac{5}{3}$

d) $\frac{4}{x\cdot \left(x - 1\right)}+\frac{3}{x}=\frac{4}{x - 1}$

Lời giải:

a) $\frac{x + 6}{x + 5}+\frac{3}{2}=2$

Điều kiện xác định: $x \neq 0$

Ta có: $\frac{x + 6}{x + 5}+\frac{3}{2}=2$

$\frac{x + 6}{x + 5} = \frac{1}{2}$

$2(x + 6) = x + 5$

$2x + 12) = x + 5$

$x = -7$ (thỏa mãn điều kiện)

Vậy phương trình đã cho có nghiệm $x = -7$

c) $\frac{x^2}{2 - x}+\frac{3x - 1}{3}=\frac{5}{3}$

Điều kiện xác định: $2 - x \neq 0$ hay $x \neq 2$

Ta có: $\frac{x^2}{2 - x}+\frac{3x - 1}{3}=\frac{5}{3}$

$\frac{3x^2}{3(2 - x)}+\frac{(3x - 1)(2 - x)}{3(2 - x)}=\frac{5(2 - x)}{3(2 - x)}$

$3x^2}+(3x - 1)(2 - x)=5(2 - x)$

$3x^2+6x - 3x^2 - 2 + x)=10 - 5x$

$12x = 12$

$x = 1$ (thỏa mãn điều kiện)

Vậy phuong trình có nghiệm $x = 1$

b) $\frac{2}{x - 2}-\frac{3}{x - 3}=\frac{3x - 20}{\left(x - 3\right)\cdot \left(x - 2\right)}$

Điều kiện xác định: $x \neq 2$ và $x \neq 3$

Ta có: $\frac{2}{x - 2}-\frac{3}{x - 3}=\frac{3x - 20}{\left(x - 3\right)\cdot \left(x - 2\right)}$

$2(x - 3) - 3(x - 2) = 3x - 20$

$2x - 6 - 3x + 6 = 3x - 20$

$-4x = - 20$

$x = 5$ (thỏa mãn điều kiện)

Vậy phương trình đã cho có nghiệm $x = 5$

d) $\frac{4}{x\cdot \left(x - 1\right)}+\frac{3}{x}=\frac{4}{x - 1}$

Điều kiện xác định $x \neq 0$ và $x \neq 1$

Ta có : $\frac{4}{x(x - 1)}+\frac{3}{x}=\frac{4}{x - 1}$

$\frac{4}{x(x - 1)}+\frac{3(x - 1)}{x(x - 1)} = \frac{4x}{x(x - 1)}$

$4+3(x - 1) = 4x$

$4+3x - 3 = 4x$

$x = 1$ (không thỏa mãn điều kiện xác định)

Vậy phương trình đã cho vô nghiệm

Bài 7. Giải các phương trình sau

a) $\frac{2}{x+1}+\frac{1}{x-2}=\frac{3}{\left(x+1\right)\cdot \left(x-2\right)}$

b) $\frac{x+3}{x-3}+\frac{x-2}{x}=2$

c) $\frac{1}{x-1}-\frac{4x}{x^{3}-1}=\frac{x}{x^{2}+x+1}$

d) $\frac{3}{x-2}+\frac{2}{x+1}=\frac{2x+5}{\left(x-2\right)\cdot \left(x+1\right)}$

Lời giải:

a) $\frac{2}{x+1}+\frac{1}{x-2}=\frac{3}{\left(x+1\right)\cdot \left(x-2\right)}$

Điều kiện xác định: $x \neq -1$ và $x \neq 2$

Ta có: $\frac{2}{x+1}+\frac{1}{x-2}=\frac{3}{(x+1)(x-2)}$

$\frac{2(x - 2)}{(x+1)(x - 2)}+\frac{(x + 1)}{(x - 1)(x-2)}=\frac{3}{(x+1)(x-2)}$

$2(x - 2) + (x + 1) = 3$

$2x - 4 + x + 1 = 3$

$3x - 3 = 3$

$x = 2$ (không thỏa mãn điều kiện xác định)

Vậy phương trình đã cho vô nghiệm

c) $\frac{1}{x-1}-\frac{4x}{x^{3}-1}=\frac{x}{x^{2}+x+1}$

Điều kiện xác định: $x \neq 1$

Ta có: $\frac{1}{x-1}-\frac{4x}{x^{3}-1}=\frac{x}{x^{2}+x+1}$

$\frac{1.(x^2 + x + 1)}{(x-1)(x^2 + x + 1)}-\frac{4x}{x^{3}-1}=\frac{x(x - 1)}{(x^{2}+x+1)(x - 1)}$

$x^2 + x + 1 - 4x = x^2 - x$

$- 2x = -1$

$x = \frac{1}{2}$ (thỏa mãn điều kiện)

Vậy phuong trình có nghiệm $x = \frac{1}{2}$

b) $\frac{x + 3}{x - 3}+\frac{x - 2}{x}=2$

Điều kiện xác định: $x \neq 0$ và $x \neq 3$

Ta có: $\frac{x + 3}{x - 3}+\frac{x - 2}{x}=2$

$\frac{x(x + 3)}{x(x-3)}+\frac{(x - 2)(x - 3)}{x(x - 3)} = \frac{2x(x - 3)}{x(x - 3)}$

$(x + 3)x + (x - 2)(x - 3) = 2x(x - 3)$

$x^2 + 3x + x^2 - 3x - 2x + 6 = 2x^2 - 6x$

$- 4x = 6$

$x =- \frac{3}{2}$ (thỏa mãn điều kiện)

Vậy phương trình đã cho có nghiệm $x =-\frac{3}{2}$

d) $\frac{3}{x - 2}+\frac{2}{x + 1}=\frac{2x + 5}{(x-2)(x+1)}$

Điều kiện xác định $x \neq 2$ và $x \neq -1$

Ta có: $\frac{3}{x - 2}+\frac{2}{x + 1}=\frac{2x + 5}{(x - 2)(x + 1)}$

$\frac{3(x + 1)}{(x - 2)(x + 1)}+\frac{2(x - 2)}{(x + 1)(x - 2)}=\frac{2x + 5}{(x - 2)(x + 1)}$

$3(x + 1) + 2(x - 2) = 2x + 5$

$3x + 3 + 2x - 4) = 2x + 5$

$3x = 6$

$x = 2$ (không thỏa mãn điều kiện xác định)

Vậy phương trình đã cho vô nghiệm

Bài 8. Giải các phương trình sau

a) $\frac{2x+5}{x+3}+1=\frac{4}{x^{2}+2x-3}-\frac{3x-1}{1-x}$

b) $\frac{x-1}{x+3}-\frac{x}{x-3}=\frac{7x-3}{9-x^{2}}$

c) $5+\frac{96}{x^{2}-16}=\frac{2x-1}{x+4}+\frac{3x-1}{x-4}$

d) $\frac{2x+19}{5x^{2}-5}-\frac{17}{x^{2}-1}=\frac{3}{1-x}$

Lời giải:

a) $\frac{2x + 5}{x + 3} + 1=\frac{4}{x^{2} + 2x - 3} - \frac{3x - 1}{1 - x}$

Điều kiện xác định: $x \neq 1$ và $x \neq -3$

$\frac{2x + 5}{x + 3} + 1=\frac{4}{x^{2} + 2x - 3} - \frac{3x - 1}{1 - x}$

$\frac{2x + 5}{x + 3} + 1=\frac{4}{(x -1)(x + 3)} - \frac{3x - 1}{1 - x}$

$(2x + 5)(x - 1) + (x - 1)(x + 3) = 4 + (3x - 1)(x + 3)$

$2x^2 - 2x + 5x - 5 + x^2 - x + 3x - 3 = 4 + 3x^2 + 9x - x - 3)$

$3x^2 + 5x - 8 = 4 + 3x^2 + 8x - 3$

$-3x = 9$

$x = -3$

$x = -3$ (không thỏa mãn điều kiện xác định)

Vậy phương trình đã cho vô nghiệm

c) $5+\frac{96}{x^{2}-16}=\frac{2x-1}{x+4}+\frac{3x-1}{x-4}$

Điều kiện xác định: $x \neq 4$ và $x \neq -4$

$5+\frac{96}{x^{2}-16}=\frac{2x-1}{x+4}+\frac{3x-1}{x-4}$

$5(x ^2 - 16) + 96 = (2x - 1)(x - 4) + (3x - 1)(x + 4)$

$5x^2 - 80 + 96 = 2x^2 - 8x - x + 4 +3x^2 + 12x - x - 4)$

$-2x = -16$

$x = 8$ (thỏa mãn điều kiện)

Vậy phuong trình có nghiệm $x = 8$

b) $\frac{x-1}{x+3}-\frac{x}{x-3}=\frac{7x-3}{9-x^{2}}$

Điều kiện xác định: $x \neq -3$ và $x \neq 3$

$\frac{x-1}{x+3}-\frac{x}{x-3}=\frac{7x-3}{9-x^{2}}$

$(x - 3)(x - 1) - x(x + 3) + 7x -3= 0$

$x^2 - x - 3x + 3 - x^2 -3x + 7x -3 = 0$

$0x = 0$

$0 = 0$

Vậy phương trình đã cho có vô số nghiệm $x =-\frac{3}{2}$ với $x \neq -3$ và $x \neq 3$

d) $\frac{2x+19}{5x^{2}-5}-\frac{17}{x^{2}-1}=\frac{3}{1-x}$

Điều kiện xác định $x \neq 1$ và $x \neq -1$

$\frac{2x+19}{5x^{2}-5}-\frac{17}{x^{2}-1}=\frac{3}{1-x}$

$2x + 19 - 17.5 = 5.(-3)(x + 1)$

$2x - 66 = -15x - 15$

$17x = 51$

$x = 3$ (thỏa mãn điều kiện xác định)

Vậy phuong trình có nghiệm $x = 3$

Lời giải:

Thay $x = 5$ vào phương trình ta được $\frac{3}{1} + \frac{2}{3} = \frac{m}{3}$ , suy ra $m =11$

Với $m =11$ thì phương trình đã cho trở thành

$\frac{x - 2}{x - 4} + \frac{x - 3}{x - 2} = \frac{11}{3} (1)$

Điều kiện xác định: $x \neq 4$ và $x \neq -2$

$3(x - 2)^2 + 3(x - 3)(x - 4) = 11(x - 4)(x - 2)$

$3(x^2 - 4x + 4) + 3(x^2 - 7x + 12) = 11(x^2 - 6x + 8)$

$3x^2 - 12x + 12 + 3x^2 - 21x + 36) = 11x^2 - 66x + 88$

$5x^2 - 33x + 40 = 0$

$(5 - x)(5x - 8)= 0$

$x = 5$ hoặc $x = \frac{8}{5}$ (thỏa mãn điều kiện xác định).

Vậy nghiệm còn lại là $x = \frac{8}{5}$ .

Lời giải:

Thay $x = \frac{1}{3}$ vào phương trình ta được $\frac{\frac{2}{3}+m}{\frac{1}{3}-1} = \frac{5.(\frac{1}{3}-1)}{\frac{1}{3}+1}$

$\frac{-(2+3m)}{2} = \frac{-5}{2}$

$m = 1$

Với $m = 1$ thì phương trình đã cho trở thành

$\frac{2x+1}{x-1}=\frac{5(x-1)}{x+1}$

Điều kiện xác định: $x \neq 1$ và $x \neq -1$

$\frac{2x+1}{x-1}=\frac{5(x-1)}{x+1}$

$\frac{(2x+1)(x+1)}{x-1}=\frac{5(x-1)(x-1)}{x+1}$

$(2x+1)(x+1) = 5(x-1)^2$

$2x^2+2x+x+1 = 5x^2-10x+5$

$3x^2-13x+4 = 0$

$(3x-1)(x-4) = 0$

$3x - 1 = 0$ hoặc $x - 4 = 0$

$x = \frac{1}{3}$ hoặc $x = 4$ (thỏa mãn điều kiện xác định).

Vậy phương trình có nghiệm $x = \frac{1}{3}$ và nghiệm nguyên là $x = 4$

Dạng 3. Giải quyết một số bài toán thực tế liên quan

Phương pháp giải

Giải bài toán thực tế bằng cách lập phương trình như sau:

Bước 1: Lập phương trình

Chọn ẩn số và đặt điều kiện thích hợp cho ẩn số.

Biểu diễn các đại lượng chưa biết khác theo ẩn và các đại lượng đã biết.

Lập phương trình biểu thị mối quan hệ giữa các đại lượng.

Bước 2: Giải phương trình

Bước 3: Trả lời

Kiểm tra xem trong các nghiệm của phương trình, nghiệm nào thỏa mãn điều kiện của ẩn, nghiệm nào không rồi kết luận.

Lời giải:

Đổi: 10 phút = $\frac{1}{6}$ giờ

Gọi x km( ) là chiều dài quãng đường AB ( x > 0) .

Thời gian xe máy đi từ A đến B là: $\frac{x}{45} (h)$

Thời gian xe máy đi từ B về A là: $\frac{x}{40} (h)$

Do thời gian về nhiều hơn thời gian đi là 10 phút nên ta có phương trình:

$\frac{x}{40} - \frac{x}{45} = \frac{1}{6}$

$\frac{6x}{360} - \frac{8x}{360} = \frac{60}{360}$

$9x - 8x = 60$

$x = 60$ (thỏa mãn điều kiện)

Vậy quãng đường AB dài 60 (km)

Lời giải:

Đổi: 30 phút = $\frac{1}{2}$ giờ

Gọi x (giờ) là thời gian xe khách đi từ A đến nơi 2 xe gặp nhau (x>0,5)

Thời gian xe con đi từ B đến nơi 2 xe găp nhau là $x - 0,5$ giờ

Quãng đường xe khách đi từ A đến nơi 2 xe găp nhau là $50x (km)$

Quãng đường xe con đi từ B đến nơi 2 xe găp nhau là $60(x - 0,5) (km)$

Mà quãng đường AB = 80 (km) nên ta có $50x + 60(x - 0,5) = 80$

$50x + 60x - 30 = 80$

$110x = 110$

$x = 1$ (thỏa mãn điều kiện)

Vậy sau 1 giờ kể từ khi xe khách khởi hành thì hai xe gặp nhau.

Lời giải:

Gọi x là số sản phẩm anh công nhân phải làm theo kế hoạch (x > 60)

Số ngày hoàn thành kế hoạch dự kiến là $\frac{x}{60}$ (ngày)

Số sản phẩm thực tế anh công nhân đã làm là $x +40$ (sản phẩm)

Số ngày thực tế anh công nhân đã làm $\frac{x + 40}{80}$ (ngày)

Vì anh hoàn thành kế hoạch sơm 2 ngày nên $\frac{x}{60} - 2 = \frac{x + 40}{80}$

$240.\frac{x}{60} - 240.2 = 240.\frac{x + 40}{80}$

$4x - 480 = 3x + 120$

$x = 600$ (thoản mãn điều kiện)

Vậy số sản phẩm anh công nhân phải làm theo kế hoạch là 600 sản phẩm.

Lời giải:

Gọi $x (m)$ là chiều rộng hình chữ nhật ban đầu (0< x < 12)

Nữa chu vi hình chữ nhật ban đầu là $\frac{48}{2} = 24 (m)$

Chiều dài hình chữ nhật ban đầu là $24 - x (m)$

Chiều rộng tăng thêm 4x (m) và chiều dài tăng thêm là $3(24 - x) (m)$

Chu vi khu vườn tăng lên $[4x + 3(24 - x)].2 = 162$

$8x + 144 - 6x = 162$

$2x = 18$

$x = 9$ (thỏa mãn điều kiện)

Vậy diện tích của hình chữ nhật là $x(24 - x) = 9(24 - 9) = 135 (m^2)$

Bài 15. Một công nhân dự kiến làm 33 sản phẩm trong một thời gian nhất định. Trước khi thực hiện, xí nghiệp giao thêm cho người đó 29 sản phẩm nữa. Do đó mặc dù mỗi giờ người đó đã làm thêm 3 sản phẩm nhưng vẫn hoàn thành chậm hơn dự kiến 1 giờ 30 phút. Tính năng suất dự kiến.

Lời giải:

Gọi x (sản phẩm/giờ, $x \in \mathbb{N}$ ) là năng suất dự kiến của anh công nhân.