1. Trang chủ
  2. Góc học tập
  3. 2025
  4. [Toán 9 – CHƯƠNG I]...
Góc học tập, Toán 9

[Toán 9 – CHƯƠNG I] Bài 2. Phương Trình Bậc Nhất Hai Ẩn – Hệ Hai Phương Trình Bậc Nhất Hai Ẩn

Đã đăng trên bởi Trương Văn Đức
Phương Trình Bậc Nhất Hai Ẩn

MỤC LỤC

A. TÓM TẮT LÝ THUYẾT

I. PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN

1. Khái niệm phương trình bậc nhất hai ẩn

Phương trình bậc nhất hai ẩn x,y là hệ thức dạng: ax+by=c, trong đó a,b,c là những số cho trước và a \neq 0 hoặc b \neq 0 (a,b không đồng thời bằng không).
Ví dụ 1: Trong các hệ thức 3x+2y=5; 0x+y=-1; 0x+0y=2. Hệ thức nào là phương trình bậc nhất hai ẩn? Hệ thức nào không là phương trình bậc nhất hai ẩn?

Lời giải

Cả 3 hệ thức đều có dạng ax+by=c. Nhưng chỉ có hai hệ thức 3x+2y=5; 0x+y=−1 thỏa mãn điều kiện a \neq 0 hoặc b \neq 0.Nên là phương trình bậc nhất hai ẩn.
Hệ thức 0x+0y=2\quad \text{có } a=b=0, không thoản mãn điều kiện trên. Nên hệ thức đó không phải là phương trình bậc nhất hai ẩn.

Ví dụ 2: Trong các phương trình sau, phương trình nào là phương trình bậc nhất hai ẩn x, y?

a)\quad 3x-2y=1      b)\quad 0x+2y=-6      c)\quad 4x+0y=3      d)\quad 3x^2-y=5

Lời giải

Phương trình ở các câu a, b, c là phương trình bậc nhất hai ẩn xy, vì có dạng ax+by=c và
thỏa mãn điều kiện a \neq 0 hoặc b \neq 0. Phương trình ở câu d không phải là phương trình bậc nhất hai ẩn x,y vì x có bậc là 2.

2. Nghiệm của phương trình bậc nhất hai ẩn

Nếu tại x=x_{0} \text{ và } y=y_{0} \text{ ta có } ax_{0}+by_{0}=c là một khẳng định đúng (giá trị của biểu thức vế trái tại x=x_{0} \text{ và } y=y_{0} \text{ băng c }) thì cặp số (x_{0};y_{0}) được gọi là một nghiệm của phương trình ax+by=c .

Ví dụ 3: Trong các cặp số (1;-1) và (1;1) cặp nào là nghiệm của phương trình 3x-2y=5

Lời giải

* Ta có cặp số (1;-1) nghĩa là x_{0}=1 và y_{0}=-1, thay vào vế trái của phương trình 3x-2y=5 ta được 3.1-2.(-1)=3+2=5 Nên cặp số (1;-1) là nghiệm của phương trình 3x-2y=5

* Ta có cặp số (1; 1) nghĩa là x_{0}=1 và y_{0}=1, thay vào vế trái của phương trình 3x-2y=5 ta được 3.1-2.(1)=3-2=1≠5 Nên cặp số (1;1) không là nghiệm của phương trình 3x-2y=5

Ví dụ 4: Giả sử (x;y) là nghiệm của phương trình bậc nhất hai ẩn x+2y=5.
a) Hoàn thành bảng sau đây:

x-2-10
y???12

b) Tính y theo x. Từ đó cho biết phương trình đã cho có bao nhiêu nghiệm?

Lời giải

a) Ta có phương trình: x+2y=5 suy ra

x-2-1031
y\frac{7}{2}3\frac{5}{2}12

Vậy 5 nghiệm của phương trình đã cho là: \left( -2;\frac{7}{2} \right); \left( -1;3 \right); \left( 0;\frac{5}{2} \right); \left(3;1 \right); \left(1;2 \right)

b) Từ phương trình x+2y=5.suy ra y=\frac{5-x}{2} với mọi giá trị x tùy ý cho trước, ta luôn tìm được một giá trị y tương ứng. Do đó phương trình đã cho có vô số nghiệm.

Chú ý:
– Mỗi phương trình bậc nhất hai ẩn đều có vô số nghiệm.
– Nghiệm tổng quát của phương trình ax+by=c (a \neq 0 hoặc b \neq 0) là:

\left(x,y=-\frac{a}{b}x+\frac{c}{b} \right) với x\in R hoặc \left(y,x=-\frac{b}{a}y+\frac{c}{a} \right) với y\in R

hoặc S=\left\{ \left( x;-\frac{a}{b}x+\frac{c}{b} \right)|x\in R \right\} hoặc S=\left\{ \left( y;-\frac{b}{a}y+\frac{c}{a} \right)|y\in R \right\}

Ví dụ 5: Viết nghiệm và biểu diễn hình học tất cả các nghiệm của phương trình bậc nhất hai ẩn x+2y=3

Lời giải

[Toán 9 – CHƯƠNG I] Bài 2. Phương Trình Bậc Nhất Hai Ẩn - Hệ Hai Phương Trình Bậc Nhất Hai Ẩn 1
Hình 1

Xét phương trình x+2y=3 (1)

Ta viết (1) dưới dạng y=-0,5x+1,5.

Mỗi cặp số (x;-0,5x+1,5) với mọi x \in \mathbb{R} .

Mỗi nghiệm này là tọa độ của một điểm thuộc đường thẳng y=-0,5x+1,5.

Ta cũng gọi đường thẳng này là đường thẳng d: x+2y=3. .

Để vẽ đường thẳng d, ta chỉ cần xác định hai điểm tùy ý của nó, chẳng hạn A(0;1,5) và B(3;0) rồi vẽ đường thẳng đi qua hai điểm đó (Hình 1)

Nhận xét: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, mỗi nghiệm của phương trình ax+by=c (a \neq 0 hoặc b \neq 0) được biểu diễn bởi một điểm và khi a \neq 0, b \neq 0 thì đường thẳng đó là đồ thị hàm số bậc nhất y=-\frac{a}{b}+\frac{c}{b}

 

Ví dụ 6: Biểu diễn hình học tất cả các nghiệm của hai phương trình bậc nhất hai ẩn sau:

a)\hspace{0.2cm} 0x+2y=3 \quad b)\hspace{0.2cm} x-0y=-1

Lời giải

a) Tư phương trình 0x+2y=3, ta viết dưới dạng y=\frac{3}{2}=1,5 có các nghiệm là (1;1,5); (2;1,5); (-2;1,5) và…

Biểu diễn các nghiệm trên mặt phẳng tọa độ:

Nhận xét: Khi a = 0 ,b \neq 0 thì đường thẳng đó là đồ thị hàm số y=\frac{c}{b} và song song với trục Ox nếu c \neq 0, trùng với trục Ox khi c = 0 (Hình 2)

Hinh 2
Hinh 2
Hinh 3
Hình 3

b) Từ phương trình x-0y=-1, ta viết dưới dạng x=-1 có các nghiệm là (-1;-1);(1;-1);(2;-1) và…

Biểu diễn các nghiệm trên mặt phẳng tọa độ:

Nhận xét: Khi a \neq 0 ,b=0 thì đường thẳng có dạng x =\frac{c}{a} và song song với trục Oy nếu c \neq 0, trùng với trục Oy khi c = 0 (Hình 3)

 

II. HỆ HAI PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN

1. Khái niệm:

Một cặp gồm hai phương trình bậc nhất hai ẩn ax + by = c và a'x + b'y = c' được gọi là một hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn. Ta thường viết hệ phương trình đó dưới dạng:

\begin{cases}{ax+by=c}\\{a'x+b'y=c'}\end{cases} (*)

2. Nghiệm hệ phương trình:

Mỗi cặp số (x_0;y_0 ) được gọi là một nghiệm của hệ () nếu nó đồng thời là nghiệm của cả hai phương trình của hệ ().

Ví dụ 7: Hai cặp số (1;2) và (2;1) cặp nào là nghiệm của hệ phương trình \begin{cases}{x-y=1}\\{x+y=3}\end{cases}

Lời giải

  • Hệ phương trình  \begin{cases}{x-y=1} \quad (1)\\{x+y=3} \quad (2)\end{cases}

Ta thấy khi x=1 và y=2 thì

  • x-y=1-2=-1 \neq 1 nên (1;2) không phải là nghiệm của phương trình (1)
  • x+y=1+2=3 nên (1;2) là nghiệm của phương trình (2)

Vậy (1;2) không là nghiệm chung của hai phương trình, nghĩa là (1;2) không phải là nghiệm của hệ phương trình đã cho

Hinh 4
Hinh 4
  • Hệ phương trình  \begin{cases}{x-y=1} \quad (1)\\{x+y=3} \quad (2)\end{cases}

Ta thấy khi x=2 và y=1 thì

  • x-y=2-1=1 \neq 1 (thỏa mãn) nên (2;1) là nghiệm của phương trình (1)
  • x+y=2+1=3 nên (2;1) là nghiệm của phương trình (2)

Suy ra (2;1) là nghiệm chung của hai phương trình, nghĩa là cặp số (2;1) là nghiệm của hệ phương trình đã cho.

Vậy nghiệm của hệ phương trình đã cho là (2;1)

  • Tổng quát: Về vị trí tương đối của hai đường thẳng ứng với hai phương trình của hệ \begin{cases}{a_1x+b_1y=c_1}\\{a_2x+b_2y=c_2}\end{cases}

Gọi d_1: a_1x+b_1y=c1 và d_1: a_2x+b_2y=c2

– Nếu d1 cắt d2 thì hệ phương trình có nghiệm duy nhất.

– Nếu d1 song song với d2 thì hệ phương trình vô nghiệm.
– Nếu d1 trùng với d2 thì hệ phương trình có vô số nghiệm.

Cụ thể:

Hệ có nghiệm duy nhất khi: \frac{a_1}{a_2} \neq \frac{b_1}{b_2} hay a_1b_2-a_2b_1 \neq 0

Hệ vô nghiệm khi: \frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} \neq \frac{c_1}{c_2} hay a_1b_2-a_2b_1 = 0 và a_1c_2-a_2c_1 \neq 0 hoặc b_1c_2-b_2c_1 \neq 0

Hệ vô số nghiệm khi: \frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} = \frac{c_1}{c_2} hay a_1b_2-a_2b_1 = 0 và a_1c_2-a_2c_1 = 0 hoặc b_1c_2-b_2c_1 = 0

B. BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM

I. MỨC ĐỘ NHẬN BIẾT

Câu 1: Trong các hệ thức sau, hệ thức nào không phải là phương trình bậc nhất hai ẩn?

\textbf{A. } x-2y=3 \hspace{2cm} \textbf{B. } 0x+3y=1
\textbf{C. } -3x+0y=3 \hspace{2cm} \textbf{D. } 0x-0y=5

Hướng Dẫn

Đáp án: B do a, b đồng thời là bằng 0

Câu 2: Hệ số a, b và c tương ứng của phương trình bậc nhất hai ẩn -2x=13 là:

\textbf{A. } a=2; \quad b=0 \quad \text{và } c=13 \hspace{1cm} \textbf{B. } a=-2; \quad b=13 \quad \text{và } c=0
\textbf{C. } a=0; \quad b=-2 \quad \text{và } c=13 \hspace{1cm} \textbf{D. } a=13; \quad b=0 \quad \text{và } c=-2

Đáp án: A
Phương trình bậc nhất hai ẩn -2x=13 \text{ hay } -2x+0y=13 nên a=-2, b=0 \text{ và } c=13

Câu 3: Hệ số a, b và c tương ứng của phương trình bậc nhất hai ẩn -y-1=0 là:

\textbf{A. } a=-1; \quad b=0 \quad \text{và } c=1 \hspace{1cm} \textbf{B. } a=0; \quad b=-1 \quad \text{và } c=1
\textbf{C. } a=1; \quad b=-1 \quad \text{và } c=1 \hspace{1cm} \textbf{D. } a=-1; \quad b=-1 \quad \text{và } c=0

Hướng Dẫn

Đáp án: B
Phương trình bậc nhất hai ẩn -y-1=0 \text{ hay } -0x+y=1 nên a=0, b=-1 \text{ và } c=1

Câu 4: Hệ số a, b và c tương ứng của phương trình bậc nhất hai ẩn x-y+1=0 là:

\textbf{A. } a=1; \quad b=1 \quad \text{và } c=0 \hspace{1cm} \textbf{B. } a=1; \quad b=1 \quad \text{và } c=-5
\textbf{C. } a=1; \quad b=-1 \quad \text{và } c=-5 \hspace{1cm} \textbf{D. } a=1; \quad b=-1 \quad \text{và } c=5

Hướng Dẫn

Đáp án: C
Phương trình bậc nhất hai ẩn x-y+5=0 nên a=1, b=-1 \text{ và } c=-5

Câu 5: Cặp số (-2; 3)} là nghiệm của phương trình nào dưới đây?

\textbf{A. } x-y=1 \hspace{2cm} \textbf{B. } 2x-y=-7
\textbf{C. } 2x+y=2 \hspace{2cm} \textbf{D. } x-3y=-10

Hướng Dẫn

Đáp án: B
Ta có: x =−2 \text{ và } y = 3

  • Thay vào phương trình x-y=1 ta được -2-3=-5 \neq 1 (không thỏa mãn) Nên (−2;3) không phải là nghiệm của phương trình
  • Thay vào phương trình 2x-y=-7 ta được -2(-2)-3=-7 (thỏa mãn) Nên (−2;3) là nghiệm của phương trình
  • Thay vào phương trình 2x+y=2 ta được 2(-2)+3=-1 \neq 2 (không thỏa mãn) Nên (−2;3) không phải là nghiệm của phương trình
  • Thay vào phương trình x-3y=-10 ta được -2-3.3=-11 \neq -10 (không thỏa mãn) Nên (−2;3) không phải là nghiệm của phương trình

Câu 6: Cặp số nào không là nghiệm của phương trình x-2y=-3?

\textbf{A. } (1; -2) \hspace{1cm} \textbf{B. } (-1; -0,5) \hspace{1cm} \textbf{C. } 3; 3) \hspace{1cm} \textbf{D. } (-5; 1)

Hướng Dẫn

Đáp án: C

  • Thay x=1 \text{ và } y=-2 vào phương trình x+2y=-3 ta được 1+2.(-2)=-3 (thỏa mãn) nên (1;-2) là nghiệm phương trình.
  • Thay x=-2 \text{ và } y=-0,5 vào phương trình x+2y=-3 ta được -2+2.(-0,5)=-3 (thỏa mãn) nên (-2; -0,5) là nghiệm phương trình.
  • Tương tự thì cặp số (3; -3) không phải là nghiệm phương trình.
  • Tương tự thì cặp số (-5; 1) là nghiệm phương trình.

Câu 7: Cặp số nào là nghiệm của phương trình 3x-2y+1=0?

\textbf{A. } (0; 1) \hspace{1cm} \textbf{B. } (-1; 1) \hspace{1cm} \textbf{C. } -1; -1) \hspace{1cm} \textbf{D. } (5; 3)

Hướng Dẫn

Đáp án: C

  • Thay x=0 \text{ và } y=1 vào phương trình 3x-2y+1=0 ta được 3.0-2.1+1=-1 \neq 0 (không thỏa mãn) nên (0;1) không phải là nghiệm phương trình.
  • Thay x=-1 \text{ và } y=1 vào phương trình 3x-2y+1=0 ta được 3.(-1)-2.(1)+1=-4 \neq 0 (không thỏa mãn) nên (-1; 1) không phải là nghiệm phương trình.
  • Thay x=-1 \text{ và } y=-1 vào phương trình 3x-2y+1=0 ta được 3.(-1)-2.(-1)+1=0 (thỏa mãn) nên (-1; -1) là nghiệm phương trình.
  • Tương tự thì cặp số (5; 3) không phải là nghiệm phương trình.

Câu 8: Trong các hệ phương trình sau, hệ nào không phải là hệ phương trình bậc nhất hai ẩn?

\textbf{A. } \begin{cases}{3x-y=5} \quad \\{x+2y=-1} \quad \end{cases} \hspace{1cm} \textbf{B. } \begin{cases}{-3y=6} \quad \\{3x+5y=15} \quad \end{cases}

\textbf{C. } \begin{cases}{x^2-4y^2=0} \quad \\{2x+5y=7} \quad \end{cases} \hspace{1cm} \textbf{D. } \begin{cases}{2x-3y=-3} \quad \\{3x-15=0} \quad \end{cases}

Hướng Dẫn

Đáp án: C

Từ hệ phương trình \begin{cases}{x^2-4y^2=0} \quad \\{2x+5y=7} \quad \end{cases} ta thấy bậc của x, y là bậc 2 nên n không phải là phương trình bậc nhất hai ẩn

Câu 9: Cho hệ phương trình \begin{cases}{x+3y=6} \quad \\{-2x-y=-5} \quad \end{cases} hệ số a, b, c và a’, b’, c’ của hệ phương trình?

\textbf{A. } a=3; b=1; c=6 \text{ và } a'=-2; b'=-1; c'=-5
\textbf{B. } a=1; b=3; c=6 \text{ và } a'=-2; b'=-1; c'=-5
\textbf{C. } a=3; b=1; c=6 \text{ và } a'=-2; b'=-1; c'=-5
\textbf{D. } a=1; b=3; c=6 \text{ và } a'=-1; b'=-2; c'=-5

Hướng Dẫn

Đáp án: C

Hệ phương trình \begin{cases}{x+3y=6} \quad \\{-2x-y=-5} \end{cases} có a=3; b=1; c=6 \text{ và } a'=-2; b'=-1; c'=-5

Câu 10: Cho hệ phương trình \begin{cases}{x+3y=6} \quad \\{-2x-y=-5} \quad \end{cases} cặp số nào sau đây là nghiệm của hệ phương trình?

\textbf{A. } (2; 1) \hspace{1cm} \textbf{B. } (3; 2) \hspace{1cm} \textbf{C. } 6; 0) \hspace{1cm} \textbf{D. } (-3; 3)

Hướng Dẫn

Đáp án: D

  • Thay x=2 \text{ và } y=1 vào phương trình x+3y=6 ta được 2+3.1=5 \neq 6 (không thỏa mãn) suy ra (2;1) không đồng thời thỏa mãn hai phương trình nên (2;1) không phải là nghiệm của hệ phương trình.
  • Thay x=3 \text{ và } y=2 vào phương trình x+3y=6 ta được 3+3.2=9 \neq 6 (không thỏa mãn) suy ra (3; 2) không đồng thời thỏa mãn hai phương trình nên (3;2) không phải là nghiệm của hệ phương trình.
  • Thay x=6 \text{ và } y=0
  • Vào phương trình x+3y=6 ta được 6+3.0=6 (thỏa mãn)
  • Vào phương trình -x-y=0 ta được -6-0=-6 (không thỏa mãn)

Suy ra (6;0) không đồng thời thỏa mãn hai phương trình nên (6;0) không phải là nghiệm của hệ phương trình.

  • Thay x=-3 \text{ và } y=3
  • Vào phương trình x+3y=6 ta được -3+3.3=6 (thỏa mãn)
  • Vào phương trình -x-y=0 ta được -(-3)-3=-6 (thỏa mãn)

Suy ra (-3;3) đồng thời thỏa mãn hai phương trình nên (-3;3) là nghiệm của hệ phương trình.

II. MỨC ĐỘ THÔNG HIỂU

Câu 11: Tập nghiệm của phương trình 4x - 3y = -1 được biểu diễn bằng đường thẳng nào dưới đây?

\textbf{A. } y=-4x-1 \hspace{2cm} \textbf{B. } y=\frac{4}{3}x+\frac{1}{3}
\textbf{C. } y=4x+1 \hspace{2cm} \textbf{D. } y=\frac{4}{3}x-\frac{1}{3}

Hướng Dẫn

Đáp án: B

Ta có 4x-3y=-1 suy ra  3y=4x+1 suy ra y=\frac{4}{3}+\frac{1}{3}
Nên tập nghiệm của phương trình 4x-3y=-1 được biểu diễn bằng đường thẳng y=\frac{4}{3}+\frac{1}{3}

Câu 12: Tập nghiệm của phương trình 5x + 0y = 2 được biểu diễn bởi

A. đường thẳng y=5x+2          B. đường thẳng y=\frac{2}{5}
C. đường thẳng y=\frac{2}{5}         D. đường thẳng y=2-5x

Hướng Dẫn

Đáp án: C

Ta có 5x+0y=2 suy ra  5x=2 suy ra x=\frac{2}{5}
Nên tập nghiệm của phương trình 5x+0y=2 được biểu diễn bằng đường thẳng x=\frac{2}{5}

Câu 13: Tập nghiệm của phương trình 0x - 4y = 3 được biểu diễn bởi

A. đồ thị hàm số x=3+4y          B. đồ thị hàm số y=3
C. đồ thị hàm số y=\frac{3}{4}         D. đồ thị hàm số y=-\frac{3}{4}

Hướng Dẫn

Đáp án: D

Ta có 0x-4y=3 suy ra  -4y=3 suy ra y=-\frac{3}{4}
Nên tập nghiệm của phương trình 0x-4y=3 được biểu diễn bằng đường thẳng y=-\frac{3}{4}

Câu 14: Giá trị nào của y0 để cặp số (0,5; y_0) là nghiệm của phương trình -2x+2y=3?

\textbf{A. }y_0=-1 \hspace{1.5cm} \textbf{B. } y_0=-2 \hspace{1.5cm} \textbf{C. }y_0=2 \hspace{1.5cm} \textbf{D. } y_0=3

Hướng Dẫn

Đáp án: C

Do (0,5; y_0) là nghiệm của phương trình -2x+2y=3
Nên -2.0,5+2.y_0=3 suy ra 2y_0=4 suy ra y_0=2

Câu 15: Giá trị nào của x0 để cặp số (x_0; -1) là nghiệm của phương trình 3x+y=2?

\textbf{A. }x_0=-1 \hspace{1.5cm} \textbf{B. } x_0=1 \hspace{1.5cm} \textbf{C. }x_0=2 \hspace{1.5cm} \textbf{D. } x_0=3

Hướng Dẫn

Đáp án: B

Do (x_0; -1) là nghiệm của phương trình 3x+y=2
Nên 3x_0-1=2 suy ra 3x_0=3 suy ra x_0=1

Câu 16: Hệ phương trình \begin{cases}{2x+b_1y=1} \quad \\{-3x+b_2y=5} \quad \end{cases} có nghiệm duy nhất khi:

\textbf{A. }\frac{b_1}{b_2}=-\frac{2}{3} \hspace{1.2cm} \textbf{B. } \frac{b_1}{b_2} \neq-\frac{2}{3} \hspace{1.2cm} \textbf{C. }\frac{b_2}{b_1}=-\frac{2}{3} \hspace{1.2cm} \textbf{D. } \frac{b_1}{b_2}\neq \frac{1}{5}

Hướng Dẫn

Đáp án: B

Từ hệ phương trình \begin{cases}{2x+b_1y=1} \quad \\{-3x+b_2y=5} \quad \end{cases}

Ta có: \frac{a}{a'} \neq \frac{b}{b'} thì hệ số có nghiệm duy nhất, mà \frac{a}{a'}=-\frac{2}{3} suy ra \frac{a}{a'} \neq -\frac{2}{3}

III. MỨC ĐỘ VẬN DỤNG

Câu 17: Nghiệm tổng quát của phương trình x – y + 2 = 0 là:

A. {(x; y) | x, y ∈ ℝ}      B. {(x; x – 2) | x ∈ ℝ}      C. {(y; x + 2) | y ∈ ℝ}      D. {(x; x + 2) | x ∈ ℝ}

Hướng Dẫn

Đáp án: D

Ta có x-y+2=0 suy ra  y=x+2
Nên có nghiệm tổng quát là \left\{ (x; x+2)|x\in \mathbb{R} \right\}

Câu 18: Phương trình 3x + my = 5 có nghiệm (1; 2), khi m có giá trị là:

A. m = 3  B. m = 1  C. m = 5  D. m = 0

Hướng Dẫn

Đáp án: B

Do phương trình 3x+my=5 có nghiệm (1;2)
Nên 3.1+m.2=5 \text{ suy ra } 2m=2 \text{ suy ra } m=1

Câu 19: Một lạng (0,1 kg) thịt bò chứa 26g protein, một lạng (0,1 kg) cá chứa 22g protein. Bác An định chi bò sung 70g protein từ thịt bò và thịt cá trong một ngày. Gọi x, y lần lượt là số lạng thịt bò, số lạng thịt cá mà bác An ăn trong một ngày. Phương trình bác nhất hài x, y biểu diễn nhu cầu bò sung protein của bác An là:

A. x + 22y = 70
B. 70x – 22y = 26
C. 22x + 26y = 70
D. 26x + 22y = 70

Hướng Dẫn

Đáp án: D

Gọi x, y lần lượt là số lạng thịt bò, số lạng thịt cá mà bác An ăn trong một ngày. Do một lạng(0,1 kg) thịt bò chứa 26g protein, một lạng(0,1 kg) cá chứa 22g protein và bác An định chỉ bổ sung 70g protein từ thịt bò và thịt cá trong một ngày.

Nên ta có phương trình 26x+22y=70

Câu 20: Một số có hai chữ số có dạng xy, biết hai lần chữ số thứ nhất nhiều hơn chữ số thứ hai 5 đơn vị. Phương trình bác nhất hai x, y biểu diễn mối liên hệ trên là:

A. x + y = 5
B. 2x – y = 5
C. x – 2y = 5
D. 2x + y = 5

Hướng Dẫn

Đáp án: B

Theo đề bài ta có: Phương trình bậc nhất hai ẩn x, y (x \neq 0): 2x-y=5

Câu 21: Hệ phương trình \begin{cases}{y = 3x - 2} \\{y = 2x + 1} \end{cases} có?

A. Nghiệm duy nhất    B. Hai nghiệm   C. Vô số nghiệm   D. Vô nghiệm

Hướng Dẫn

Đáp án: A

Từ hệ phương trình \begin{cases}{y = 3x - 2} \\{y = 2x + 1} \end{cases} suy ra \begin{cases}{3x - y = 2} \\{2x - y = 1} \end{cases}

Ta có: \frac{3}{2} \neq \frac{-1}{-1}=1 \text { hay } \frac{a}{a'} \neq \frac{b}{b'}

Nên hệ phương trình có nghiệm duy nhất.

Câu 22: Hệ phương trình \begin{cases}{x - y - 2 = 0} \\{x - y + 3 = 0} \end{cases} có?

A. Nghiệm duy nhất    B. Hai nghiệm   C. Vô số nghiệm   D. Vô nghiệm

Hướng Dẫn

Đáp án: D

Từ hệ phương trình \begin{cases}{x - y - 2 = 0} \\{x - y + 3 = 0} \end{cases} suy ra \begin{cases}{x - y = 2} \\{x - y = -3} \end{cases}

Ta có: \frac{1}{1} \neq \frac{-1}{-1} \neq \frac{-2}{3} \text { hay } \frac{a}{a'} \neq \frac{b}{b'} \neq \frac{c}{c'}

Nên hệ phương trình vô nghiệm.

Câu 23: Hệ phương trình \begin{cases}{2x - y + 3 = 0} \\{4x - 2y + 6 = 0} \end{cases}  có?

A. Nghiệm duy nhất    B. Hai nghiệm   C. Vô số nghiệm   D. Vô nghiệm

Hướng Dẫn

Đáp án: C

Từ hệ phương trình \begin{cases}{2x - y + 3 = 0} \\{4x - 2y + 6 = 0} \end{cases} suy ra \begin{cases}{2x - y = -3} \\{4x - 2y = -6} \end{cases}

Ta có: \frac{2}{4} = \frac{-1}{-2} = \frac{-3}{-6} (= \frac{1}{2}) \text { hay } \frac{a}{a'} = \frac{b}{b'} = \frac{c}{c'}

Nên hệ phương trình có vô số nghiệm.

Câu 24: Để đủ chất béo cần thiết cho cơ thể, bác Ngọc mua hai loại thực phẩm là thịt lợn và cá chép. Giá tiền thịt lợn là 130 nghìn đồng/kg, giá tiền cá chép là 50 nghìn đồng/kg. Bác Ngọc đã chi 295 nghìn để mua 3,5 kg hai loại thực phẩm trên. Gọi x và y lần lượt là số kilogam thịt lợn và cá chép mà bác Ngọc đã mua. Hệ phương trình bác nhất hai x và y là:

A. \begin{cases}{x + y = 3,5} \\{130x + 50y = 295} \end{cases}

B.  \begin{cases}{x - y = 3,5} \\{130x + y = 295} \end{cases}

C. \begin{cases}{x + y = 3,5} \\{x + 50y = 295} \end{cases}

D.  \begin{cases}{130x + 50y = 3,5} \\{130x + 50y = 295} \end{cases}

Hướng Dẫn

Đáp án: A

Gọi x và y lần lượt là số kilogam thịt lợn và cá chép mà bác Ngọc đã mua.
Do bác Ngọc chỉ mua 3,5kg hai loại thực phẩm trên.
Ta có phương trình: x + y = 3,5
Và giá tiền thịt lợn là 130 nghìn đồng/kg, giá tiền cá chép là 50 nghìn đồng/kg. Bác Ngọc đã chi 295 nghìn để mua 3,5kg hai loại thực phẩm trên
Ta có phương trình: 130x + 50y = 295

Vậy ta có hệ phương trình \begin{cases}{x + y = 3,5} \\{130x + 50y = 295} \end{cases}

III. MỨC ĐỘ VẬN DỤNG CAO

Câu 25: Các nghiệm nguyên dương của phương trình 5x + 3y = 50 là:

\textbf{A. }(x; y) = (5; 3), (3; 5), (3; 50)

\textbf{B. }(x; y) = (7; 5), (5; 3), (3; 5)

\textbf{C. }(x; y) = (13; -5), (4; 10), (-1; 15)

\textbf{D. }(x; y) = (7; 5), (4; 10), (1; 15)

Hướng Dẫn

Đáp án: D

Phương trình: 5x + 3y = 50
Có 50 \vdots 5 \text{ nên } (5x + 3y) \vdots 5 \text{ mà } 5x \vdots 5 \text{ suy ra } 3y \vdots 5
\text{ Do } 3 \not \vdots 5 \text{ nên } y \vdots5 \quad (1)

\text{ Vì } x, y > 0 \text{ nên } 3y < 50 \text{ suy ra } y < 17 \quad (2)

Từ (1) và (2) ta có: } y=\left\{ 5;10;15 \right\} \text{ suy ra } x=\left\{ 7;4;1 \right\}

Do đó nghiệm nguyên dương cần tìm là (x; y) = (7; 5), (4; 10), (1; 15)

Câu 26: Các phương trình sau, phương trình nào có nghiệm nguyên?

\textbf{A. }2x - 4y = 7

\textbf{B. }3x + 6y = 19

\textbf{C. }5x - 10y = 14

\textbf{D. }3x + 12y = 6

Hướng Dẫn

Đáp án: D

  • Phương trình: 2x - 4y = 7 không có nghiệm nguyên, vì nếu có nghiệm x_0, y_0 với x_0, y_0 \in \mathbb{Z} \text{ thì } 2x_0 - 4y_0 = 7 \text{ suy ra } 2(x_0 - 2y_0)=7 suy ra 2 là ước của 7. Điều đó vô lý.
  • Tương tự phương trình: 2x - 4y = 7 \text{ và } 5x - 10y = 14 không có nghiệm nguyên.
  • Phương trình: 3x + 12y = 6 có nghiệm nguyên, vì nếu có nghiệm x_0, y_0 với x_0, y_0 \in \mathbb{Z} \text{ thì } 3x_0 + 12y_0 = 6 \text{ suy ra } 3(x_0 + 4y_0)= 6 suy ra 3 là ước của 6. Điều đó đúng.

Câu 27: Các phương trình sau, phương trình nào không có nghiệm nguyên?

\textbf{A. } 3x - 9y = 6

\textbf{B. } 4x - 12y = 4

\textbf{C. } 5x - 10y = 14

\textbf{D. } -5x + 15y = 10

Hướng Dẫn

Đáp án: C

  • Phương trình: 3x - 9y = 6 có nghiệm nguyên, vì nếu có nghiệm x_0, y_0 với x_0, y_0 \in \mathbb{Z} \text{ thì } 3x_0 - 9y_0 = 6 \text{ suy ra } 3(x_0 - 3y_0)= 6 suy ra 3 là ước của 6. Điều đó đúng.
  • Tương tự phương trình: 4x - 12y = 4 \text{ và } -5x + 15y = 10 không có nghiệm nguyên.
  • Phương trình: 5x - 10y = 14 không có nghiệm nguyên, vì nếu có nghiệm x_0, y_0 với x_0, y_0 \in \mathbb{Z} \text{ thì } 5x_0 - 10y_0 = 14 \text{ suy ra } 5(x_0 - 2y_0)=7 suy ra 5 là ước của 14. Điều đó vô lý.

Câu 28: Hệ phương trình \begin{cases}{2x - y = m} \\{4x + 2y = 10} \end{cases} có vô số nghiệm, khi m có giá trị:

A. m = 2      B. m ≠ -4      C. m = -5      D. m = 5

Hướng Dẫn

Đáp án: D

Hệ phương trình \begin{cases}{2x - y = m} \\{4x + 2y = 10} \end{cases} có vô số nghiệm

Khi \frac{-2}{4}=\frac{-1}{2}=\frac{-m}{10} \text{ suy ra } -2m=-1.10 \text{ suy ra } m=5

Câu 29: Hệ phương trình \begin{cases}{2x - my = -3} \\{4x + 2y = 6} \end{cases} vô nghiệm, khi m có giá trị:

A. m = 2 \text{ và } m \neq \frac{1}{2}    

B. m ≠ 4

C. m = -1

D. m ≠ 1

Hướng Dẫn

Đáp án: D

Hệ phương trình \begin{cases}{2x - my = -3} \\{4x + 2y = 6} \end{cases} vô nghiệm

Khi \frac{2}{4}=\frac{-m}{2} \neq \frac{-3}{6} \text{ suy ra } m \neq 1

Câu 30: Đường thẳng d_1:y = \frac{1}{2}x \text{ và } d_2:y = -x + 3 cắt nhau tại điểm M. Tọa độ M là cặp số nào sau đây là nghiệm của hệ phương trình \begin{cases}{x - 2y = 0} \\{x + y = 3} \end{cases} ?

A. M(1; 2)   B. M(2; 0)   C. M(2; 1)   D. M(2; -1)

Hướng Dẫn

Đáp án: C

Vì d1 cắt d2 nên ta có phương trình hoành độ giao điểm:

\frac{1}{2}x = -x + 3

x = -2x + 6

3x = 6

x = 2 \text{ suy ra } y = 1

Vậy d1 cắt d2 tại M(2;1)

Thay x = 2 \text{ và } y = 1 vào

  • Phương trình x - 2y = 0 ta được 2 - 2.1 = 0 (thỏa mãn)
  • Phương trình x + y = 3 ta được 2 + 1 = 3 (thỏa mãn)

Do cặp số (2;1) đều thỏa mãn hai phương trình

Nên M(2;1) là nghiệm của hệ phương trình \begin{cases}{x - 2y = 0} \\{x + y = 3} \end{cases}

C. CÁC DẠNG TỪ LUẬN

Dạng 1. Xét xem một cặp số cho trước có là nghiệm của phương trình bậc nhất hai ẩn hay không

Phương pháp giải

» Nếu cặp số thực (x_0; y_0) thỏa mãn ax_0 + by_0 = c thì nó được gọi là nghiệm của phương trình ax + by = c.
Bài 1. Cặp số sau đây là nghiệm của phương trình 3x - 2y = 13?

(0; 2); (1; 1); (3; 2); (-1; -6)

Hướng Dẫn

  • Vì khi thay tọa độ điểm (0;2) vào phương trình 3x - 2y = 13 ta có 3(0) - 2(2) = 13 (sai) nên (0;2) không là nghiệm của phương trình.
  • Vì khi thay tọa độ điểm (-1;-8) vào phương trình 3x - 2y = 13 ta có 3(-1) - 2(-8) = 13 (đúng) nên (-1;-8) là nghiệm của phương trình.
  • Vì khi thay tọa độ điểm (1;1) vào phương trình 3x - 2y = 13 ta có 3(1) - 2(1) = 13 (sai) nên (1;1) không là nghiệm của phương trình.
  • Vì khi thay tọa độ điểm (3;2) vào phương trình 3x - 2y = 13 ta có 3(3) - 2(2) = 13 (sai) nên (3;2) không là nghiệm của phương trình.
  • Vì khi thay tọa độ điểm (1;-6) vào phương trình 3x - 2y = 13 ta có 3(1) - 2(-6) = 13 (sai) nên (1;-6) không là nghiệm của phương trình.
Bài 2. Tìm giá trị của m để

a) Phương trình \sqrt{m - 1}x - 3y = -1 nhận cặp số (1; 1) làm nghiệm.

b) Phương trình 2x - (m - 2)y = 5 nhận cặp số (-10; -1) làm nghiệm với m > 0.

c) Đường thẳng có phương trình (m - 1)x + (m + 1)y = 2m + 1 đi qua điểm A(2; 3).

d) Đường thẳng có phương trình (m - 2)x + (3m - 1)y = 6m - 2 song song với trục hoành.

Hướng Dẫn

a) Phương trình \sqrt{m-1}x-3y=-1 nhân cặp số (1;1) làm nghiệm khi và chỉ khi
\sqrt{m-1}.1-3.1=-1 \Leftrightarrow \sqrt{m-1}-3=-1 \Leftrightarrow \sqrt{m-1}=2 \Leftrightarrow m-1=4 \Leftrightarrow m=5

b) Phương trình 2x-(m-2)y=5 nhân cặp số (-10;-1) làm nghiệm khi và chỉ khi
2(-10)-(m-2)(-1)=5 \Leftrightarrow -20+(m-2)=5 \Leftrightarrow m-2=25 \Leftrightarrow m=27. Vì m > 0 nên m = 27.

c) Đường thẳng có phương trình (m-1)x+(m+1)y=2m+1 đi qua điểm A(2;3) khi và chỉ khi
(m-1)2+(m+1)3=2m+1 \Leftrightarrow 2m-2+3m+3=2m+1 \Leftrightarrow 5m+1=2m+1 \Leftrightarrow 3m=0 \Leftrightarrow m=0

d) Đường thẳng có phương trình (m-2)x+(3m-1)y=6m-2 song song với trục hoành khi và chỉ khi
\begin{cases} m-2=0 \Rightarrow m=2 \\ 3m-1 \neq 0 \Rightarrow m \neq \frac{1}{3} \\ 6m-2 \neq 0 \end{cases} \Rightarrow m=2

Bài 3. Cho hai phương trình x + y = 2 và x - 2y = -1. Tìm cặp số (x; y) là nghiệm chung của hai phương trình.

Hướng Dẫn

Nghiệm chung ( x; y) của hai phương trình là tọa độ giao điểm của hai đường thẳng x + y = 2 \text{ và } x - 2y = -1

Ta có:

x + y = 2 \Rightarrow x = 2 - y

x - 2y = -1 \Rightarrow x = -1 + 2y

Tung độ giao điểm là nghiệm của phương trình: 2 -y = -1 + 2y \Leftrightarrow -3y = -3 \Leftrightarrow y = 1

Vậy nghiệm chung của hai phương trình là cặp số : (x; y) = (1; 1)

Bài 4. Chứng tỏ rằng phương trình 3x - 2y = 1 luôn nhận cặp số (2m + 1; 3m + 1) là nghiệm khi m thay đổi.

Hướng Dẫn

Thay cặp số (2m + 1; 3m + 1) vào phương trình 3x – 2y = 1 ta được:

3(2m + 1) - 2(3m + 1) = 1
\Leftrightarrow 6m + 3 - 6m - 2 = 1 \Leftrightarrow 1 = 1 (luôn đúng mọi m).

Vậy cặp số (2m + 1; 3m + 1) luôn là nghiệm của phương trình 3x – 2y = 1 khi m thay đổi.

Bài 5. Tìm các nghiệm nguyên của phương trình 2x - 3y = 1.

Hướng Dẫn

Ta có 2x – 3y = 1 \Rightarrow x = \frac{1 + 3y}{2} = y + \frac{y + 1}{2}

Do x nguyên \frac{y + 1}{2} \in \mathbb{Z}, đặt \frac{y + 1}{2} = t \ (t \in \mathbb{Z})

\Rightarrow y = 2t - 1 \Rightarrow x = 2t - 1 + t = 3t - 1

Vậy nghiệm tổng quát của phương trình là:

\begin{cases} x = 3t - 1 \\ y = 2t - 1 \end{cases} với t \in \mathbb{Z}

Dạng 2. Viết nghiệm tổng quát và biểu diễn tập nghiệm của mỗi phương trình trên một mặt phẳng tọa độ

Phương pháp giải

» Tập nghiệm của phương trình ax + by = c được biểu diễn bằng đường thẳng ax + by = c kí hiệu là (d).

  • Nếu a \neq 0 và b \neq 0 thì công thức nghiệm là
    \begin{cases} x \in \mathbb{R} \\ y = \frac{c - ax}{b} \end{cases} \text{ hoac } \begin{cases} y \in \mathbb{R} \\ x = \frac{c - by}{a} \end{cases}.
    Khi đó đường thẳng (d) cắt trục hoành tại \left( \frac{c}{a}; 0 \right) và trục tung tại \left( 0; \frac{c}{b} \right).
  • Nếu a \neq 0 và b = 0 thì công thức nghiệm là
    \begin{cases} x = \frac{c}{a} \\ y \in \mathbb{R} \end{cases} \text{ và (d) // Oy}.
  • Nếu a = 0 và b \neq 0 thì công thức nghiệm là
    \begin{cases} x \in \mathbb{R} \\ y = \frac{c}{b} \end{cases} \text{ và (d) // Ox}.

Bài 1. Viết nghiệm tổng quát và vẽ đường thẳng biểu diễn tập nghiệm của phương trình 2x - y = 3.

Hướng Dẫn

Nghiệm tổng quát của phương trình là \begin{cases} x \in \mathbb{R} \\ y = 2x - 3 \end{cases}.

Bài 2. Viết nghiệm tổng quát và vẽ đường thẳng biểu diễn tập nghiệm của phương trình x + 2y = 4.

Hướng Dẫn

Nghiệm tổng quát của phương trình là \begin{cases} y \in \mathbb{R} \\ x = -2y + 4 \end{cases}.

Bài 3. Viết nghiệm tổng quát và vẽ đường thẳng biểu diễn tập nghiệm của phương trình 3x - 2y = 6.

Hướng Dẫn

Nghiệm tổng quát của phương trình là \begin{cases} x \in \mathbb{R} \\ y = \frac{3x-6}{2} \end{cases}.

Bài 4. Viết nghiệm tổng quát và vẽ đường thẳng biểu diễn tập nghiệm của phương trình 5y = -10.

Hướng Dẫn

Nghiệm tổng quát của phương trình là \begin{cases} x \in \mathbb{R} \\ y = -2 \end{cases}.

Bài 5. Viết nghiệm tổng quát và vẽ đường thẳng biểu diễn tập nghiệm của phương trình -4x = -12.

Hướng Dẫn

Nghiệm tổng quát của phương trình là \begin{cases} y \in \mathbb{R} \\ x = 3 \end{cases}.

Dạng 3. Tìm điều kiện của tham số để đường thẳng ax + by = c thỏa mãn điều kiện cho trước

Phương pháp giải

»  Sử dụng kiến thức: Đường thẳng (d): ax + by = c đi qua điểm M(x₀; y₀) khi và chỉ khi ax₀ + by₀ = c với các trường hợp đặc biệt của a và b

Bài 1. Trong mỗi trường hợp sau hãy tìm giá trị của m để

a) Điểm M(0; 1) thuộc đường thẳng mx - 5y = 7.
b) Điểm N(0; -3) thuộc đường thẳng 2,5x + my = -21.

Hướng Dẫn

a) Điểm M(0;1) thuộc đường thẳng mx + 5y = 7 khi và chỉ khi m.0 + 5.1 = 7  ⇔ 0 = 12 (vô lý).

Kết luận: Không tìm được m

b) Điểm N(0;-3) thuộc đường thẳng 2,5x + my = -21 khi và chỉ khi 2,5.0 + m.(-3) = -21  ⇔ m = 7

Bài 2. Trong mỗi trường hợp sau hãy tìm giá trị của m để

a) Điểm P(5; -3) thuộc đường thẳng mx + 2y = -1.
b) Điểm P(5; -3) thuộc đường thẳng 3x - my = 6.
c) Điểm Q(0; 5; -3) thuộc đường thẳng mx + 0y = 17,5.

Hướng Dẫn

a) Điểm P(5;-3) thuộc đường thẳng mx + 2y = -1 khi và chỉ khi m.5 + 2.(-3) = -1  ⇔ m=1.

b) Điểm P(5;-3) thuộc đường thẳng 3x – my = 6 khi và chỉ khi 3.5 – m.(-3) = 6  ⇔ m=-3

c) Điểm Q(0,5;-3) thuộc đường thẳng mx + 0y = 17,5 khi và chỉ khi m.0,5 + 0.(-3) = 17,5  ⇔ m=35

Bài 3. Trong mỗi trường hợp sau hãy tìm giá trị của m để

a) Điểm S(4; 0,3) thuộc đường thẳng 0x + my = 1,5.
b) Điểm A(2; -3) thuộc đường thẳng (m - 1)x + (m + 1)y = 2m + 1.

Hướng Dẫn

a) Điểm S(4;0,3) thuộc đường thẳng 0x + my = 1,5 khi và chỉ khi 0x + m.(0,3) = 1,5  ⇔ m=5

b) Điểm A(2;-3) thuộc đường thẳng (m – 1)x + (m + 1)y = 2m + 1 khi và chỉ khi (m – 1).2 + (m + 1).(-3) = 2m + 1  ⇔ m = -2

Bài 4. Cho đường thẳng d có phương trình: (m - 2)x + (3m - 1)y = 6m - 2. Tìm các giá trị của tham số m để

a) d đi qua điểm A(1; -1);
b) d song song với trục hoành.

Hướng Dẫn

a) d đi qua điểm A(1; -1) khi và chỉ khi:

(m - 2).1 + (3m - 1).(-1) = 6m - 2

⇔ m - 2 - 3m + 1 = 6m - 2

⇔ -8m = -1

⇔ m = \frac{1}{8}

b) d song song với trục hoành khi và chỉ khi m – 2 = 0 ⇔ m = 2

Bài 5. Cho đường thẳng d có phương trình: (m - 2)x + (3m - 1)y = 6m - 2. Tìm các giá trị của tham số m để

a) d song song với trục tung;
b) d đi qua gốc tọa độ.

Hướng Dẫn

a) d song song với trục tung khi và chỉ khi 3m - 1 = 0 \text{ và } 6m - 2 \neq 0

⇔ m = \frac{1}{3} \text{ và } m \neq \frac{1}{3}

⇔ m \in \emptyset

b) d đi qua gốc tọa độ khi và chỉ khi

6m - 2 = 0 \iff 6m =2 \iff m = \frac{1}{3}

Dạng 4. Không giải hệ phương trình, đoán nhận số nghiệm của hệ phương trình bậc nhất hai ẩn

Phương pháp giải

» Xét hệ phương trình bậc nhất hai ẩn \begin{cases} ax + by = c \\ a'x + b'y = c' \end{cases}

  1. Hệ phương trình có duy nhất một nghiệm \Leftrightarrow \frac{a}{a'} \neq \frac{b}{b'};

  2. Hệ phương trình vô nghiệm \Leftrightarrow \frac{a}{a'} = \frac{b}{b'} \neq \frac{c}{c'};

  3. Hệ phương trình có vô số nghiệm \Leftrightarrow \frac{a}{a'} = \frac{b}{b'} = \frac{c}{c'}.

Bài 1. Không giải hệ phương trình, dựa vào vị trí của hai đường thẳng biểu diễn tập nghiệm của hai phương trình hay dự đoán số nghiệm của hệ:

a) \begin{cases} -2x + y = -3 \\ 3x - 2y = 7 \end{cases}

b) \begin{cases} y = 2x + 10 \\ y = x + 100 \end{cases}

Hướng Dẫn

a) Tập nghiệm phương trình -2x + y = -3 được biểu diễn bởi đường thẳng -2x + y = -3

Tập nghiệm phương trình 3x - 2y = 7 được biểu diễn bởi đường thẳng 3x - 2y = 7

Ta có: \frac{-2}{3} \neq \frac{1}{-2}. Suy ra hệ phương trình có một nghiệm duy nhất.

b) Tập nghiệm của phương trình y = 2x + 10 được biểu diễn bởi đường thẳng d_1: y = 2x + 10.
Tập nghiệm của phương trình y = x + 100 được biểu diễn bởi đường thẳng d_2: y = x + 100
Lại có: hệ số góc của hai đường thẳng d1, d2 khác nhau 2 \neq 1 nên hai đường thẳng này cắt nhau. Suy ra, hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất.

Bài 2. Không giải hệ phương trình, dựa vào vị trí của hai đường thẳng biểu diễn tập nghiệm của hai phương trình hay dự đoán số nghiệm của hệ:

a) \begin{cases} 3x - 2y = -4 \\ -x + \frac{2}{3}y = 2 \end{cases}

b) \begin{cases} 4x - 3y = 10 \\ -2x + \frac{3}{2}y = -5 \end{cases}

Hướng Dẫn

a) Tập nghiệm phương trình 3x = 2y - 4 được biểu diễn bởi đường thẳng 3x - 2y = -4

Tập nghiệm phương trình -x + \frac{2}{3}y = 2 được biểu diễn bởi đường thẳng -3x + 2y = 6

Ta có: \frac{3}{-3} = \frac{-2}{2} \neq \frac{-4}{6}. Suy ra hệ phương trình vô nghiệm.

b) Tập nghiệm phương trình 4x - 3y = 10 được biểu diễn bởi đường thẳng 4x - 3y = 10

Tập nghiệm phương trình -2x + \frac{3}{2}y = -5 được biểu diễn bởi đường thẳng -4x + 3y = -10

Ta có: \frac{4}{-4} = \frac{-3}{3} = \frac{10}{-10}. Suy ra hệ phương trình vô số  nghiệm.

Bài 3. Dựa vào đặc điểm của hệ số a, b, c và a’, b’, c’ dự đoán số nghiệm của các hệ phương trình sau:

a) \begin{cases} 2x - y = 3 \\ -4x + 2y = -6 \end{cases}

b) \begin{cases} 4\sqrt{2}x - 2y = 2 \\ \sqrt{2}x - \frac{1}{2}y = \frac{1}{2} \end{cases}

c) \begin{cases} 2x + 3y = -6 \\ -x + 11y = 5 \end{cases}

d) \begin{cases} 4x + y = 3 \\ -3 - \frac{3}{4}y = 1 \end{cases}

Hướng Dẫn

a) Hệ có vô số nghiệm do \frac{2}{4} = \frac{1}{2} = \frac{3}{6}

b) Hệ có vô số nghiệm do \frac{4\sqrt{2}}{\sqrt{2}} = \frac{-2}{-1} = \frac{2}{1}

c) Hệ có nghiệm duy nhất do \frac{2}{-1} \neq \frac{3}{11}

d) Hệ vô nghiệm do \frac{4}{-3} = \frac{1}{\frac{-3}{4}} \neq \frac{3}{1}

Bài 4. Không giải hệ phương trình, dự đoán số nghiệm của các hệ phương trình sau:

a) \begin{cases} 3x - 2y = 4 \\ 0x + 4y = -8 \end{cases}

b) \begin{cases} 0x - 5y = -11 \\ 2x - 0y = 2\sqrt{3} \end{cases}

c) \begin{cases} -2x + y = \frac{1}{2} \\ -3x + \frac{3}{2}y = \frac{3}{4} \end{cases}

d) \begin{cases} 2\sqrt{2}x + 4y = 3 \\ -\sqrt{2}x - 2y = \frac{3}{2} \end{cases}

Hướng Dẫn

a) Hệ có nghiệm duy nhất vì \frac{0}{3} \neq \frac{4}{-2}

b) Hệ có nghiệm duy nhất vì \begin{cases} 0x - 5y = -11 \\ 2x - 0y = 2\sqrt{3} \end{cases} \implies \begin{cases} y = \frac{11}{5} \\ x = \sqrt{3} \end{cases} là hai đường thẳng cắt nhau.

c) Hệ vô số nghiệm vì \frac{-2}{-3} = \frac{1}{\frac{3}{2}} = \frac{\frac{1}{2}}{\frac{3}{4}}

d) Hệ vô nghiệm vì \frac{2\sqrt{2}}{-\sqrt{2}} = \frac{4}{-2} \neq \frac{3}{\frac{3}{2}}

Bài 5. Dựa vào đặc điểm của hệ số a, b, c, a’, b’, c’ dự đoán số nghiệm của các hệ phương trình sau:

a) \begin{cases} 3x - 2y = 4 \\ -6x + 4y = -8 \end{cases}

b) \begin{cases} 2x + y = -3 \\ 3x - 2y = 7 \end{cases}

c) \begin{cases} \sqrt{2}x - 2y = 3 \\ 3\sqrt{2}x - 6y = -7 \end{cases}

d) \begin{cases} 2x - 5y = -11 \\ 3x - 0y = 2\sqrt{3} \end{cases}

Hướng Dẫn

a) Ta có \(\frac{3}{-6}=\frac{-2}{4}=\frac{4}{-8}=\frac{-1}{2}\) suy ra hệ phương trình có vô số nghiệm.

b) Ta có \frac{-2}{3} \neq \frac{1}{2} nên hệ phương trình có nghiệm duy nhất.

c) Ta có \(\frac{\sqrt{2}}{3\sqrt{2}}=\frac{-2}{-6}e\cdot \frac{3}{-7}\) nên hệ phương trình vô nghiệm.

d) Ta có \frac{3}{2} \neq \frac{0}{5} nên hệ phương trình có nghiệm duy nhất.

Dạng 5. Tìm điều kiện để hệ phương trình bậc nhất hai ẩn có nghiệm duy nhất, vô nghiệm, vô số nghiệm

Phương pháp giải

» Xét hệ phương trình \begin{cases} ax + by = c \\ a'x + b'y = c' \end{cases}

  1. Hệ phương trình có duy nhất một nghiệm \Leftrightarrow \frac{a}{a'} \neq \frac{b}{b'};

  2. Hệ phương trình vô nghiệm \Leftrightarrow \frac{a}{a'} = \frac{b}{b'} \neq \frac{c}{c'};

  3. Hệ phương trình có vô số nghiệm \Leftrightarrow \frac{a}{a'} = \frac{b}{b'} = \frac{c}{c'}.

Bài 1. Cho hệ phương trình \begin{cases} x - 3y = m \\ 2x - 6y = 8 \end{cases}. Tìm giá trị của m để hệ phương trình vô nghiệm? vô số nghiệm?

Hướng Dẫn

Ta có \frac{1}{2} = \frac{-3}{-6}

Nếu \frac{1}{2} = \frac{m}{8}, tức là m = 4 thì hệ vô số nghiệm.

Nếu \frac{1}{2} \neq \frac{m}{8}, tức là m \neq 4 thì hệ vô nghiệm.

Bài 2. Cho hệ phương trình \begin{cases} y = 2x + 20 \\ y = (2m - 4)x + 10 \end{cases}. Tìm m để hệ phương trình đó có:

a) Vô nghiệm?
b) Có nghiệm duy nhất?

Hướng Dẫn

Nghiệm của phương trình y = 2x + 20 được biểu diễn bởi đường thẳng (d_1) : y = 2x + 20 .

Nghiệm của phương trình y = (2m - 4)x + 10 được biểu diễn bởi đường thẳng (d_2): y = (2m - 4)x + 10

a) Hệ phương trình bậc nhất hai ẩn đã cho vô nghiệm khi ( d_1) // (d_2) , \Leftrightarrow \begin{cases} 2m - 4 = 2 \\ 10 \neq 20 \end{cases} \Leftrightarrow m = 3

Vậy với m = 3 thì hệ đã cho có vô nghiệm.

b) Hệ phương trình trên thì đã cho có nghiệm duy nhất khi và chỉ khi hai đường thẳng d_1, d_2 cắt nhau

\Leftrightarrow 2m - 4 \neq 2 \Leftrightarrow 2m \neq 6 \Leftrightarrow m \neq 3

Vậy m \neq 3 thì hệ đã cho có nghiệm duy nhất.

Bài 3. Cho phương trình 3x – 2y = 5. Hãy cho thêm một phương trình bậc nhất hai ẩn để được một hệ:

a) Có nghiệm duy nhất.
b) Vô nghiệm.
c) Vô số nghiệm.

Hướng Dẫn

Ta có: 3x - 2y = 5 \Leftrightarrow y = \frac{3}{2}x - \frac{5}{2}

a) Để được một hệ có nghiệm duy nhất cần thêm một phương trình bậc nhất hai ẩn có số gốc khác \frac{3}{2} \). Ví dụ: \( y = x - 5 .

b) Để được một hệ vô nghiệm thì cần thêm một phương trình bậc nhất hai ẩn có số gốc bằng \frac{3}{2} và tung độ gốc khác -\frac{5}{2} . Ví dụ: y = \frac{3}{2}x + 1 .

c) Để được một hệ có vô số nghiệm thì cần thêm một phương trình bậc nhất hai ẩn có số gốc bằng \frac{3}{2} , và tung độ gốc bằng -\frac{5}{2} , và biểu diễn cho không khác phương trình ban đầu. Ví dụ: y = \frac{3}{2}x - \frac{5}{2} \Leftrightarrow 2y = 3x - 5 .

Bài 4. Cho hệ phương trình \begin{cases} x + y = 1 \\ mx + y = 2m \end{cases}. Xác định các giá trị của tham số m để hệ phương trình:

a) Có nghiệm duy nhất;
b) Vô nghiệm;
c) Vô số nghiệm.

Hướng Dẫn

Ta có \begin{cases} x + y = 1 \\ mx + y = 2m \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} x + y = 1 \\ mx + y = 2m \end{cases}

a) Để hệ phương trình có nghiệm duy nhất \frac{m}{1} \neq \frac{1}{1} \Leftrightarrow m \neq 1 . Vậy m \neq 1

b) Để hệ phương trình vô nghiệm thì \frac{m}{1} = \frac{1}{1}, \frac{2m}{1} \neq \frac{1}{1} \Leftrightarrow m = 1; m \neq \frac{1}{2}. Vậy m = 1

c) Để hệ phương trình có vô số nghiệm thì \frac{m}{1} = \frac{1}{1}, \frac{2m}{1} = \frac{1}{1} \Leftrightarrow m = 1, m = \frac{1}{2} . Vậy không có giá trị nào của m

Bài 5. Cho hệ phương trình \begin{cases} mx + 2y = 3 \\ m'x - 4y = -6 \end{cases}. Tìm giá trị của m để hệ phương trình có vô số nghiệm.

Hướng Dẫn

Với m \neq 0, điều kiện để hệ phương trình có vô số nghiệm là

\frac{m}{m^2} = \frac{2}{-4} = \frac{3}{-6} \iff \frac{1}{m} = -\frac{1}{2} \iff m=-2

Với m = 0, hệ phương trình có dạng \begin{cases} 0x + 2y = 3 \\ 0x - 4y = -6 \end{cases} Hệ có vô nghiệm dạng \left(x,\frac{3}{2}\right),x\in \mathbb{R}

Vậy với m = −2 hoặc m = 0, hệ phương trình có vô số nghiệm.

Xem thêm: [Toán 9 – CHƯƠNG I] Bài 1. Phương Trình Quy Về Phương Trình Bậc Nhất Một Ẩn

Xem thêm:

Bài viết cùng chủ đề:

Trương Văn Đức

Ads by Adpia